高数教案空间曲线坐标面上的投影

摘 要：讨论、分析投影于（任意）抵偿高程面上的平面坐标计算方法及其计算公式的推导。 供同行们讨论与参考。

关键词：交通工程；公路控制测量；投影于（任意）抵偿高程面上的平面坐标计算方法。

0 前 言

国家有关规范规定，在大、中型工程测量中，其控制网必须与国家控制点联测，或采用国家坐标系统，以达到测量资源共享、成果共用的目的。国家坐标系统是采用高斯－克吕格正形投影（简称“高斯投影”），即先由大地面投影到参考椭球面，再由参考椭球面投影到高斯平面；而高程面则是投影到大地水准面上。公路测量常用的处理方法是，采用分带形式，以减小高斯投影产生的长度变形；而高程面的投影，因为测区平均高程面与大地水准面的差值和地球曲率半径相比微不足道，故忽略不计。然而，随着公路建设的不断扩大与发展，公路（特别是高速公路）从平原微丘区向山岭重丘区（乃至高原地区）延伸，测区高程面由数10m增加到数百米乃至数千米；由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是我们必须考虑的问题。如，据有关计算表明，当大地高程面H＝700m时，其长度变形为11cm/km，远大于规范允许值，这对于重要工程的测量是一个不可忽略的小数。本文通过分析讨论，提出在（任意）选定的抵偿高程面上的平面

课 题 日 期 教 学 目 的 重 点 难 点 课 堂 类 型 §2.1极限的概念 星 期 科长签字 1.理解无穷大、无穷小的概念， 2.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限 无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用 理论课 教学方法 讲授法 方法与 环节 教 学 内 容 与 过 程 一、无穷小量与无穷大量 1、无穷小量概念 定义： 极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小； 注：1、无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。 2、数零是唯一可作为无穷小的常数。 3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。 一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外。 当x→a（或∞）时，如果函数f(x)的极限为0，则称当x→a（或∞）时，f(x)是无穷小量。 若数列{an}的极限为0，则{an}是无穷小量。 例如：limsinx?0，所以，当x→0时，sin x 是无穷小量。 x?0 同样，当x→0时x (?>0)，1-cosx，arcsinx 等都是无穷小量。 当x→+∞时，lim?11?0 ，所以{}是无穷小量. n???nn111同样，当x???时，，2，n都是无穷小量。nn2 定理： 极限与无穷小

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；l 30

30 ，即l /

1/20，如展开为l的级数，收敛。

x m24

6

0 m2l m4l m6l y m3

5

（8-33）

1l m3l m5l

式中

m0,m1, 是待定系数，它们都是纬度B的函数。

由第三个条件知：

xx y

q

y l, l q

(8-33)式分别对l和q求偏导数并代入上式

m1 3m24

dm0dm22

dm44

3l 5m5l

dq

dql dql 2ml3

6m5

6l

dm1 (8-34)

dq

l

dm355

2l 4m4dq

l3

dmdq

l

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l前的系数应相等，即

mdm01

dq

m 1dm1

22

dq

(8-35)

m1dm2

3 3

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单圆曲线是一段具有一定半径的圆弧。

单圆曲线最简单的一种连接两相邻直线的形式。单圆曲线主要是用于铁路专用线和低等级公路。

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一、圆曲线主点圆曲线主点有三个 点，按线路前进方向冠 名。

直圆点(ZY)、曲 中点(QZ)、圆直点 (YZ)是确定圆曲线位 置的主要控制点，称为 主点。交点(JD)也是一 个很重要的点。

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二、圆曲线要素计算1、圆曲线要素 R —— 半径 —— 转向角 T —— 切线长

L —— 曲线长Eo —— 外矢距

q —— 切曲差R、 、T、L、Eo、q 称为 圆曲线要素。

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2、计算公式 为测量得到，R 为设计值。

T R tg

2 180

L R

Eo R (

1 cos

2

1)

q 2T L

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三、主点里程计算1、基本知识 里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的 距离。

表示方法：DK26+284.56。

“+”号前为公里数，即26km,“+”后为米数，即 284.56m。 CK —— 表示初测导线的里程。 DK

大地水准面,地球椭球体,大地基准面,地理坐标系,投影坐标系

地理坐标系与投影坐标系

1.真实地球：

2. 大地水准面

经大地测量，获取到大地水准面：

静止的水面称为水准面，水准面是受地球表面重力场影响而形成的，是一个处处与重力方向垂直的连续曲面，因此是一个重力场的等位面。

大地水准面是由静止海水面并向大陆延伸所形成的不规则的封闭曲面。它是重力等位面，即物体沿该面运动时，重力不做功（如水在这个面上是不会流动的）。大地水准面是描述地球形状的一个重要物理参考面，也是海拔高程系统的起算面。

大地水准面,地球椭球体,大地基准面,地理坐标系,投影坐标系

3. 地球椭球体(Ellipsoid) 地表是一个无法用数学公式表达的曲面，

这样的曲面不能作为测量和制图的基准面。假想一个扁率极小的椭圆，绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体称之为地球椭球体。地球椭球体表面是一个规则的数学表面，可以用数学公式表达，所以在测量和制图中就用它替代地球的自然表面。

地球椭球体有长半径和短半径之分，长半径(a)即赤道半径，短半径(b)即极半径。f=（a-b）/a为椭球体的扁率，表示椭球体的扁平程度。由此可见，地球椭球体的形状和大小取决于a、b、f 。因此，a、b、f被称为地球椭球体的三要素。

大地水

高斯投影坐标正反算编程报告

1. 编程思想

进行高斯投影坐标正反算的编程需要牵涉到大量的公式，为了使程序条理更清楚，各块的数据复用性更强，这里采取了结构化的编程思想。

程序由四大块组成。

GeodesyHomework.cpp文件用于存放main()函数，是整个程序的入口。通过结构化的编程尽力使main()函数变得简单。

MyFunction.h和MyFunction.cpp用于存放计算过程中进行角度弧度换算时所要用到的一些自定的转换函数。

Zhengsuan.h和Zhengsuan.cpp用于存放Zhengsuan类，在Zhengsuan类中声明了高斯投影坐标正算所要用到的所有变量，在类的构造函数中进行成员变量的初始化及正算计算。通过get函数获得相应的正算结果。

Fansuan.h和Fansuan.cpp用于存放Fansuan类，类似于Zhengsuan类，Fansuan类中声明了高斯投影坐标反算所要用到的所有变量，在类的构造函数中进行成员变量的初始化及反算计算。通过get函数获得相应的反算结果。

2. 计算模型

高斯投影正算公式

x?X??NN232244????sinBcosB?l?simBcosB(5?t?9??4?)l2???22

《高等应用数学实训教程》

- 1 - 第五章 空间解析几何

一、学习要点：

1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；

2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；

3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；

4.掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程；

5.知道空间一点到平面的距离公式；

6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法

7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)；

8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形.

二、相关知识总结：

1.空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标.

2.空间直角坐标系中任意两点11112222(,,),(,,)p x y z p x y z 间的距离公式： 21221221221)()()(z z y y x x p p d -+-+-==.

3.空间向量的有关概念及向量的坐标表示.

4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算.

5.空间向量模的坐标表示：

设向量{,,}x y z a a a a =，其模2x a a =+

向量a 的单位向量：0{cos ,cos ,cos }a i a j a k a αβγ

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

曲线桥墩台中心坐标计算

与直线桥相比，曲线桥墩台中心坐标的计算要复杂的多，涉及的内容也较多，下面就有关内容分述如下。

1． 梁和桥台在曲线上的布置形式

桥梁位于曲线上，线路中线为具有一定半径的圆曲线或缓和曲线，而预制梁的中线为直线，这就要求梁中线必须随着线路中线的弯曲形成与线路曲线基本相符的连续折线，如图16—11所示。这条连续折线称为曲线桥梁的工作线，其顶点为相邻两梁中线的交点，相邻两交点之间的水平距离，称为交点距，亦称墩中心距或跨距，以L表示。 L2α2L1αα13L3E2E3αE1E44 在曲线桥上，桥梁工作线为折线，线路中线为曲线，两者并不重合，列车通过时，桥梁必然承受偏心荷载。为了使桥梁承受较小的偏心荷载，桥梁设计中，每孔梁中心线的两个端点并不位于线路中心线上，而必须将梁的中线向曲线外侧移动一段距离。根据跨长及曲线半径，梁中线向曲线外侧所移动的距离，可以等于以梁长为弦线的中矢值，此布置方式称为切线布置，如图16—12（a）所示；也可以等于该中矢值的一半，称为平分中矢布置，如图16—12（b）所示。两种布置形式比较，平分中矢布置较为有利，铁路曲线桥基本上都采用这种布置形式。 LL图 16—11EE(a)