不等式与线性规划题型及解题方法

阜宁县第一高级中学高二复习教案（一）

不等式的解法及应用、线性规划

姓名 班级 学号

教学内容：

不等式解法及应用；线性规划

教学重点：

不等式解法及应用；线性规划

一. 基本知识回顾 1. 不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。

同解不等式（1）f(x)?g(x)与f(x)?F(x)?g(x)?F(x)同解； （2）m?0，f(x)?g(x)与mf(x)?mg(x)同解，m?0，f(x)?g(x)与

mf(x)?mg(x)同解；

f(x)?0g(x)（3）与f(x)?g(x)?0(g(x)?0）同解；

2. 一元一次不等式

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

?(1)a?0?ax?b?分?(2)a?0??(3)a?0情况分别解之。

3. 一元二次不等式

ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)?分a?0及a?0情况分别解

2之，还要注意??b?4ac三种情况，即??0或??0或??0

专题 1 函数与导数、不等式

第5讲 不等式及线性规划

一.瞄准高考

1.不等式的基本性质

(1)对称性：a >b ?b b ,b >c ?a >c .

(3)加法法则：a >b ?a ＋c >b ＋c . (4)乘法法则：a >b ,c >0?ac >bc .a >b ,c <0?ac

(5)同向不等式可加性：a >b ,c >d ?a ＋c >b ＋d .

(6)同向同正可乘性：a >b >0,c >d >0?ac >bd .

(7)幂运算法则：a >b >0?a n >b n (n ∈Q).

2.一元二次不等式

(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来,不要死记硬背,二次函数的图象是联系“二次型”的纽带.

(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借助二次函数的图象,一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号.

3.基本不等式

(1)?a ,b ∈R,a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时等号成立.

(2)若a ,b 均是正数,则a ＋b 2≥ab ,当且仅当a ＝b 时等号成立. 4.线性规划问题

解决线性规划问题的关键之一是弄清楚目标函数中z 的含义,一般地经过

高中数学全册各章节的高三年级第一轮复习学案,可以直接打印用于每节的课堂上。(word版)

§6.3 二元一次不等式组与简单的线性规划

【复习目标】

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.； 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

【基础练习】

1．不等式3x ay 6 0(a 0)表示的平面区域是在直线3x ay 6 0（ ）的集合。 A．左上方

B．右上方

C．左下方

D．右下方

x 4y 3 0

2．目标函数z 2x y，变量x,y满足 3x 5y 25，则有（ ）

x 1

A．zmax 12,zmin 3 C．zmin 3,z无最大值

B．zmax 12,z无最小值 D．z既无最大值，也无最小值

3．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，2个茶杯和3包茶叶的价格比较（ ）

A．2个茶杯贵 B．3包茶叶贵 C．二者相同 D．无法确定 y 0

4．在直角坐标系中，不等式组 y x表示一个三角形区域，则实数k的范围是_ ___。

y

专题七 不等式

第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

答案部分

2019年

1.解析 由约束条件23603020x y x y y +-+--?????

，，，作出可行域如图：

化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9．

2.解析 作出约束条件表示的可行域，如图所示.

y x 4x-3y+1≥0

2-1A

B

O

令z y x =-，则y x z =+，当此直线经过可行域内的点B 时，z y x =-取最小值；当此直线经过可行域内的点A 时，z y x =-取最大值.

由24310x x y =??-+=?，得()2,3A ，由12y x =-??=?

，得()2,1B -，所以()min 123y x -=--=-；()max 321y x -=-=.

3.解析由约束条件

20

20

1

1

x y

x

y

x

y

+-

?

?-+

?

?

-

?

?-

?

作出可行域如图：

化目标函数4

z x y

=-+为4

y x z

=+，由图可知，当直线4

y x z

=+过A时，z有最大值. 联立

1

20

x

x y

=-

?

?

-+=

?

，解得()

1,1

A-. 所以z的最大值为()()

4115

-?-+=．

故选C．

4.

线性矩阵不等式

第7章线性矩阵不等式7.1线性矩阵不等式的一般表示一个线性矩阵不等式是具有形式F ( x )= F0+ x1 F1+…… x m Fm 0(7.1.1)

的一个表达式。其中 x1,……, x m,是 m个实数变量，称为线性矩阵不等式(7.1.1)的决策变量，

x= ( x1,…,xm ) T∈ R m是由决策变量构成的向量，称为决策向量， Fi= Fi T∈ R n× n,i=0,1,…,m是一组给定的实对称矩阵， (7.1.1)中的不等号“<”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有非零的向量 v∈ R, v F ( x )v 0或者 F(x)的最大特征值小于零。m

T

线性矩阵不等式

在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov矩阵不等式：

F ( X )= AT X+ XA+ Q 0其中：A, Q∈ Rn×n

(7.1.2)n×n

是给定的常数矩阵，且 Q是对称的， X∈ R

是对称的未知矩阵变量因

此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设 E1,E2,…,EM是 Sn中的一组基，则对任意对称

X∈R

n×n

,存在 x1,x2,…xM,使得 X=

∑x Ei=1 i

二元一次不等式组与简单的线性规划复习

一、知识归纳:

1．二元一次不等式表示的平面区域：

二元一次不等式Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示直线Ax?By?C?0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.

对于在直线Ax?By?C?0同一侧的所有点(x,y)，实数Ax?By?C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0)，从

Ax0?By0?C的正负即可判断

Ax?By?C?0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）2．线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。 3．线性规划问题应用题的求解步骤：

（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数； （2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）

（3）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数z?mx?ny的最大（小）时，直线mx?ny?0往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。 二、学习

线性规划常见题型及解法

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下几种常见题型。

一、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

?x?0例、在约束条件?下，当3?s?5时，目标函数 ?y?0??y?x?s??y?2x?4z?3x?2y的最大值的变化范围是（）

A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析：画出可行域如图3所示,当3?s?4时, 目标函数

z?3x?2y在B(4?s,2s?4)处取得最大值, 即zmax?3(4?s)?2(2s?4)?s?4?[7,8);当4?s?5时, 目标函数 z?3x?2yC

zmaxE(0,处取得最大值,即

?3?0?2?4?8,故z?[7,8],从而选D;

在点

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函 关系是求解的关键。

二、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

?1?x?y?4。若目标函数

??2?x?y?2a?0）仅在点(3,1处)取得最大值，则a的取值范围解析：如图5作出可行域，由z?ax?y?y??ax?z其

不等式与不等式组

第一节 不等式

一、知识要点：

（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 （四）不等式的性质：

1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 二、题型分析：

题型一： 不等式的概念和表达 例1： x的

1与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 2例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所

示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）

A、○□△ B、○△□ C、□○△ D、△□○

题型二：不等式性质的考察

例1：若a﹤b﹤0，则下列式子：①a＋1﹤b＋2，②④○○□○▲▲□

不等式与不等式组

第一节 不等式

一、知识要点：

（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 （四）不等式的性质：

1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 二、题型分析：

题型一： 不等式的概念和表达 例1： x的

1与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 2例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所

示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）

A、○□△ B、○△□ C、□○△ D、△□○

题型二：不等式性质的考察

例1：若a﹤b﹤0，则下列式子：①a＋1﹤b＋2，②④○○□○▲▲□

不等式概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

《不等式》概念、方法、易错点总结

1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a b,c d，则a c b d（若a b,c d，则a c b d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a b 0,c d 0，则ac bd（若a b 0,0 c d，abnn ）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a b 0，则a

b或cd

1111（4）若ab 0，a b，则 ；若ab 0，a b，则 。如（1） abab

对于实数a,b,c中，给出下列命题：①若a b,则ac2 bc2；②若ac2 bc2,则a b；

11ba③若a b 0,则a2 ab b2；④若a b 0,则 ；⑤若a b 0,则 ； abab

ab11 ⑥若a b 0,a b；⑦若c a b 0,则；⑧若a b, ，则c ac bab

a 0,b 0。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知 1 x y 1，1 x y 3，则3x y的取值范围是______（答：1 3x y 7）；（3