2.2.2双曲线的简单几何性质

高二文科数学

2.2.2双曲线的 简单几何性质(一)

高二文科数学

双曲线定义及标准方程定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|) ( )yMM F2

y

图象

F1

o

F2

xF1

x

方程 焦点a.b.c 的关系

x2 y2 2 =1 2 a bF ( ±c, 0)

y2 x2 2 =1 2 a b F(0, ± c)2 2

c =a +b2

高二文科数学

复

习

双曲线的标准方程 形式一： 形式一： x y 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b F1 F 焦点在x轴上，(-c,0)、 2 c,0)) 轴上，( (焦点在x轴上，(-c,0)、 (c,0))2 2

形式二： 形式二： y 2 x2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a bF1 轴上，( )、(0, )) (焦点在y轴上，( ,-c)、( ,c)) 焦点在 轴上，(0, )、( F2

其中 c 2 = a 2 + b 2

高二文科数学

练习： 练习：1.动点 到点 动点P到点 的距离减去到点N(1,0)的 动点 到点M(-1,0)的距离减去到点 的距离减去到点 的 距离之差为2,则点 轨迹是

教学内容：双曲线的简单几何性质 【基础知识精讲】

1.双曲线 - ＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2 b2.与椭圆不同.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝± x，或令双曲线标准方程 -

＝1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e＝ ＞1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝

.

(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共

同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.

注重：

1.与双曲线 且λ为待定常数)

- ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0

2.与椭圆 ＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 -

＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝ 的距离之比等于常数e＝ (c

＞a＞0)

例1 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，两曲线的离心率之比为3:7，求两曲线方程.

解：若焦点在x轴上，设所求椭圆及双曲线方程分别为：

x2y2x2y2 ?2?1 (a1?b1?0）；2?2?1 (a2,b2?0）；2a1b1a2b2离心率分别为e1,e2， 依题意：a1－a2=4且e1:e2=

c1c23：?， a1a27又c1=c2=13, ∴a1=7,a2=3.

2222故b12?a1?c12?36,b2?c2?a2?4.

∴所求椭圆与双曲线方程分别为：

x2y2x2y2??1或??1. 493694当焦点在y轴上时，可得两曲线方程为

y2x2y2x2??1或??1. 493694例2 直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.

解：如图所示，若以AB为直径的圆经过原点，则有OA⊥OB,设A(x1、y1)、B（x2、y2）,则

y2y1???1 x2x1即x1·x2+y1y2=0 ①

把y=ax+1代入3x2－y2=1得3x2－(ax+1)2=1

化简得 （3－a2）x2－2

2.3.2双曲线的简单几何性质

【学习目标】

会分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；掌握双曲线的渐近线的概念

【预习案】

1、双曲线的简单几何性质

2、等轴双曲线：___________

【小组讨论】

例1、（1）求双曲线9y2-16x2=144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

【课堂检测】

1.已知下列双曲线方程，求它的焦点坐标，离心率和渐近线方程（1）4x2-9y2=36 (2)16x2-9y2= - 144

【课后作业】P53练习1

学习目标： 1.掌握直线与双曲线的位置关系； 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等 问题； 3.了解与双曲线有关的应用问题.

复习回顾 1:直线与椭圆的位置关系有那些?如何判定? 2:点与椭圆的位置关系有哪些？如何判断？x2 y2 x2 y2 3 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有共同的焦点， 则实数 34 n n 16 n 的值是( B )A.± B.± C.25 D.9 5 3

4.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是( C ) 1 3 A.y=± 3x B.y=± x C.y=± 3x D.y=± x 3 3 2 2 x y 5.如果双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直，则双曲 a b

线的离心率为( A )A. 2

B. 2

C. 3

D. 2 2

探究:1.如何判断点与双曲线的位置关系？ 2.判断下列直线和双曲线 的位置关系 (1)直线L1:x-y+1=0; (2)直线L2:2x+y-1=0; (3)直线L3:2x-y+ =0 通过这道题目的解答你认为解决直线和双曲线的 位置关系与解决直线和椭圆的位置关系有那些 相同点?有那些不同点?

例1: 已知双曲线x2-y2=4

2.3.2双曲线的简单几何性质（总学案9）

撰稿： 修订：高二备课 班级 姓名： 第 小组

一、学习目标，心中有数

1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解。

2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。 二、知识梳理，形成体系

1、双曲线的定义： 2、双曲线的标准方程：

3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？ 试一试

类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程

x2y2

2 1,(a 0,b 0)，研究它的几何性质。 2ab

y2

①范围 ：2 从

b

而得x的范围： ；即双曲线在不等式 和

x2

所表示的区域内。2= 从而得y的范

a

围为 。

②对称性：以 x代x，方程不变，这说明

所以双曲线关于 对称。同

理，以 y代y，方程不变得双曲线关于 对称，以 x代x，且以 y代y，方程也不变

双曲线

双曲的几何线质性2(

双曲线

)曲线双几何的质性方程 x 22y 2 21a b y 2 x 2 2 21a b 图形

范围 对性 称顶 点心率 渐离线近

a,x或 x x轴a y,轴 原点, A 1 a 0 , ,2A a(, 0) ec ( e ) a1b y x a

ya 或y , a 轴,xy , 原轴点 1 A 0, a , 2 (A0 ,a )e c ( e 1 )aa y xb练习1

双曲线

:下求列曲线双的渐线近方 x程2 2y 2 x2y 1) ( 1; ( ) 2 ;1 9 49 4 2 2 2 x2 x yy( )3 4; 4( ) .49 49 4 题 : 问从上以问题,你中可以得出么结什论

双曲线

?一.曲线的渐近线 双 yxx (y) 21 2 ( 0 的)近渐线方程：为 2 2;0a b a xb y22( 2 )双曲与 2 线 2 共1近渐的双曲线系线 a b2 2x y方程为 : 2 2 ( 0 )a 当b 0 , 表时焦示在x轴

典型例题一

x2y2??1共渐近线且过A23，例1 求与双曲线?3点的双曲线方程及离心率． 169??3x2y2??1的渐近线方程为：y??x 解法一：双曲线

4169x2y2（1）设所求双曲线方程为2?2?1

ab∵

3b3?，∴b?a ①

4a4∵A23，?3在双曲线上 ∴

??129?2?1 ② 2ab由①－②，得方程组无解

y2x2（2）设双曲线方程为2?2?1

ab4b3?，∴b?a ③

3a4912∵A23，?3在双曲线上，∴2?2?1 ④

ab922由③④得a?，b?4

4∵

??y2x25??1且离心率e? ∴所求双曲线方程为：9344x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程为：??????0? 解法二：设与双曲线

169169∵点A23，?3在双曲线上，∴????1291??? 1694y2x2x2y21?1． ???，即?∴所求双曲线方程为：

9416944说明：（1）很显然，解法二优于解法一．

x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程??????0?． （2）不难证明

典型例题一

x2y2??1共渐近线且过A23，例1 求与双曲线?3点的双曲线方程及离心率． 169??3x2y2??1的渐近线方程为：y??x 解法一：双曲线

4169x2y2（1）设所求双曲线方程为2?2?1

ab∵

3b3?，∴b?a ①

4a4∵A23，?3在双曲线上 ∴

??129?2?1 ② 2ab由①－②，得方程组无解

y2x2（2）设双曲线方程为2?2?1

ab4b3?，∴b?a ③

3a4912∵A23，?3在双曲线上，∴2?2?1 ④

ab922由③④得a?，b?4

4∵

??y2x25??1且离心率e? ∴所求双曲线方程为：9344x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程为：??????0? 解法二：设与双曲线

169169∵点A23，?3在双曲线上，∴????1291??? 1694y2x2x2y21?1． ???，即?∴所求双曲线方程为：

9416944说明：（1）很显然，解法二优于解法一．

x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程??????0?． （2）不难证明

【课 题】双曲线的简单几何性质(4)

【教学目标】

1、要求掌握双曲线系方程与共轭双曲线的概念及简单的应用；

2、理解并掌握双曲线的渐近线方程的简单性质及应用。

【教学重点】

【教学难点】

【教学过程】

一、 复习引入

1、复习双曲线的性质：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，离心率等；

2、复习双曲的第二定义；

二、 讲解新课

bkbx x(k 0)，那么此双曲线方程就一aka1、共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为y x2y2x2y2

定是： 1(k 0)或写成2 2 。 22ab(ka)(kb)

2、共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。

共用一对渐近线；双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。

三、 例题讲解

y2x2

【例1】 (1)求与双曲线 1有公共渐近线,且经过点P( 2, 5)的双曲线方程 1004

(2)已知双曲线的渐近线方程为y 2x,实轴长为12,求它的方程. 3

1y2x2

解：(1)设所求双曲线方程为 ( 0),把( 2, 5)代入方程,得 , 41004

y2

故所求的双曲