高等数学包括常微分方程吗

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dy

p(x)Q(y)dx

(Q(y) 0) 2、齐次方程：

dy dx

y f x

三、一阶线性方程及其推广

1、

dydy

P(x)y Q(x) 2、 P(x)y Q(x)y dxdx

( 0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足

Q P

x y

2、 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三） （乙）典型例题 例1、求y x

2

2

Q p (RQ) (RP)

但存在R(x,y)，使 x y x y

dydy

xy的通解。 dxdx

解：y (x xy)

22

dy

0dx

y

dyy2 x dxxy x2 y

1 x

2

yduu2

令 u,则u x udx x(1 u)du 0

xdxu 11 udx

du u x C1 ln|xu| u C1

xu e

例2

C1 u

ce, y

第十二章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy

2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y?= A.dy?dx1写成以

2x?yy为自变量，x为函数的形式为（ ）

1 C. x?=2x-y D. y?=2x-y 2x?y12x?y B.dx?dy§2 可分离变量的微分方程

1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成

dxQ(x,y)?? dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ）

A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=e

第三篇 常微分方程

第六章 常微分方程

函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．

在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．

第一节 微分方程的概念

下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．

1．1 引例

引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程．

解 设所求曲线方程为y?f(x)，且曲线上任意一点的坐标为(x,y)．根据题意以及导数的几何意义得

dy?2x. dx 两边同时积分得

y?x?c （c为任意常数）．

又因为曲线通过（1，2）点，把x?1，y?2代入上式，得c?1．故所求曲线方程为

2y?x2?1．

?引例2 将温度为100C的物体放入温度为0?C的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的

速度与温度T成正比，求物体的温度T与时间t之间的函数关系．

解 依照冷却定律，冷却方程为

dT， ??kt （k为比例常数）

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料

《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 目 的 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料

《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题： 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子： 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程： 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。 微分方程的概念 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。 在一个微分方程中所出

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

同济大学五版高等数学学习资料

u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

常 微 分 方 程

试卷（一至十） 试 卷（一）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、以y1＝e2x，y2=exsinx，y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。 3、柯西问题

dy?x，y（0）=1的解是 。 dx4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。 6、微分方程F(x，y，p)=0若有奇解y=? (x)，则y=? (x) 满足的P-判别式是 。 7、线性微分方程组

dY，Y2（x）…，Yn（x）?A(x)Y的解组Y1（x）

dx在某区间上线性无头的充分必要条件是 。 8、设A＝

1 0 1 0 0 -1 0 0 2 ，则矩阵指数函数exA＝ 。

9、方程y???y??y?0的通解是 。

10、由方程y????3ay???3ay??y?0的通解是 。 二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程

dyx?y?1?的通解： dxx?y?32、 (1+x2)y

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

南京理工大学《常微分方程》期末试卷

姓名 共 ----- 页

学号 南京理工大学 专业应用数学、统计 使用教材 （通编、讲义、自编） 修读性质 初修 、 重期末考试分数占总分数的百分比 % 考试方法 （闭、开）卷 考试时间 判卷人 讲授总学时 学分 教研室主任 密封线题人 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 核分人 一． 求下列一阶微分方程的通解：（28分）

1．

dy?1?x?y2?xy2 dx

2. (x3?xy2)dx?(x2y?y3)dy?0dy?dy?3. ???x?y?0

dx?dx?dyyy2??2 4．

dxxx二. 设连续函数f(x)满足：三. 利用逐次逼近法求方程

2?x0（10分） f(t)dt?x??tf(x?t)dt，求函数f(x)。

0xdy?y2?x2满足初值条件y(0)?1的近似解： dx（8分） ?0(x),?1(x

第八章

常微分方程数值解法

摘要：对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部...(3.10)有解但解不唯一.不论如何选择这八个参数,不可能...算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-... 关键词：导,论,算法 类别：专题技术

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常微分方程数值解法

教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。

教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理