曲线积分和弧长的关系

同济 高等数学 精品课

课程名称 《高等数学》

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第11章 曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral

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第一节

第一类曲线积分

问题的提出对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算

几何意义与物理意义小结 思考题 作业3

第十章 曲线积分与曲面积分

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对弧长的曲线积分

一、问题的提出实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 M s 分割 M1 , M 2 , , M n 1OA

By

L( i , i ) M iM1 M 2

M n 1

M i 1

si

取近似 取 ( i , i ) si , M i ( i , i ) si

x

求和

M ( i , i ) sii 1 n

n

近似值精确值4

取极限 M lim ( i , i ) si 0i 1

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对弧长的曲线积分

二、对弧长的曲线积分的概念设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列M1 , M 2 , , M n 1

1.定

《弧长和扇形面积》第一课时说课稿

龙门县实验学校 梁艳芬

尊敬的评委、领导、老师：

大家好！我要说的课题是《弧长和扇形面积》第一课时。根据新课标理念，我将从教材分析、教法设计、学法指导、教学过程和效果预测五个方面加以说明。

先看教材分析： 一、教材分析 1.教材地位和作用

本节内容选自义务教育课程标准实验教科书、人教版九年级数学上册第24章第4节第110-111的内容，它是圆周长与面积的拓展和延伸，也是学习圆锥侧面展开图的基础，且对动态问题的学习将起到重要的铺垫作用。 2.学情分析

由于我班的数学基本功相对较薄弱，接受新知识的能力较困难，特别是逻辑思维论证有欠严谨，遗忘旧知识明显。因此我把本课内容重组为先复习圆周长与面积，接着认识扇形，再推导公式，最后是巩固公式。暂时避开求阴影部分的面积，让学生重新树立学好数学的信心。 3.重难点

我结合新课标要求，以学生发展为核心的理念下确定了本课的重点是弧长和扇形面积公式的推导。由于公式刚接触，学生对公式的选择还不够灵活，导致计算量超大，所以本课的难点确定为弧长和扇形面积公式的灵活选用。 4.教学目标

根据新课程标准，教学目标应包括三维。因此，本课的三维

篇一：《弧长及扇形的面积》第一课时的教学反思

《弧长及扇形的面积》第一课时的教学反思

作为教师怎么处理教材为好？怎么引入新课？怎么展开课堂教学？等等一系列问题，人人都在不断的思考中追求完美，努力求得效果最好。

我教弧长及扇形的面积的第一课时，主要是导出弧长及扇形的面积公式，并进行初步运用，让学生经历弧长及扇形面积公式推导过程，提高数学思考、分析和探究活动能力，体会公式中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想。

本节课本我从传送带的一个转动轮轮转一周入手，先思考转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？再由转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米，归纳得出转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米，即360°的圆心角对应圆周长2πR，那

2πRπR=，n°的圆心角对应的弧长应360180

πRnπR=为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×．学生带着疑180180

nπR问，进行分组讨论归纳弧长公式l＝，老师并引导学生共同证明l180

nπR＝：体现了数学由特殊到一般的教学过程，渗透了转化的思想。180么1°的圆心角对应的弧长为

接着分析公式中的变量与常量，揭示了弧长与半径、及所对圆心角的关系，为推导扇形面积公式做好铺垫，体现了类比的教学思想。

这节课基本

YSYZ

MIDDLE SCHOOL

知识回顾

圆的周长公式

C=2πR圆的面积公式2 S=πR

问题1:

如图是圆弧形状的铁轨示意图，其 中铁轨的半径为100米，圆心角为 90°.你能求出这段铁轨的长度吗?解:∵圆心角900 1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 则铁轨长是

1 2 100 50 米 4

图 23.3.1

问题探究：

上面求的是圆心角900所对的弧长，请同 学们计算半径为r圆心角分别为180°、 90°、45°、1°所对的弧长。思考：

请同学们计算半径为r,若圆心角为n°, 如何计算它所对的弧长呢？

图 23.3.2

若设⊙O半径为R, n°的圆心角 所对的弧长为 l ,则

n R l 180

A

B

n°

140°圆心角所对的弧 长是多少？ 140 R 7 R 180 9

O

例1

制造弯形管道时，经常要先按中 心线计算“展直长度”(图中虚线 的长度),再下料，试计算如图所 示管道的展直长度L(单位：mm,精 确到1mm)A B100° R=900mm 700mm 700mm

C

如何求

AB

长？

D

例1700mm

A100° R=900mm

B700mm

主备人:唐海霞 审核人:权健 叶小凤 班级: 姓名:

《§24.3.1弧长和扇形面积》（第一课时弧长）总第3课时

学习目标：

1．学习探索弧长的计算公式 2．会用弧长计算公式解决实际问题

学习重点：弧长公式的探索和应用 学习难点：弧长公式的应用

一、导学探究（由教材P110问题引入）

1．圆周长公式为C= ，圆的周长可以看着是 °的圆心角所对的弧长。由此可见，1°圆心角所对弧长为l= ，n°圆心角所对弧长为 ． 2．归纳弧长公式l= ．

二、精讲多动

例2：如图△ABC是正△，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其

OACDE B?,DE?,EF?…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，如CD果AB=1，那么曲线CDEF的长是多少？

B C A F

练一练：

1．弧长相等的两段弧是等弧吗？

D 2．有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对圆心角是81°，求这段圆弧的半径R． 3．如图正△ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以中阴影部分面积．

a为半径的圆相切于点D，E，F，求圆2AFB4．若一个扇形的弧长是12?，

主备人:唐海霞 审核人:权健 叶小凤 班级: 姓名:

《§24.3.1弧长和扇形面积》（第一课时弧长）总第3课时

学习目标：

1．学习探索弧长的计算公式 2．会用弧长计算公式解决实际问题

学习重点：弧长公式的探索和应用 学习难点：弧长公式的应用

一、导学探究（由教材P110问题引入）

1．圆周长公式为C= ，圆的周长可以看着是 °的圆心角所对的弧长。由此可见，1°圆心角所对弧长为l= ，n°圆心角所对弧长为 ． 2．归纳弧长公式l= ．

二、精讲多动

例2：如图△ABC是正△，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其

OACDE B?,DE?,EF?…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，如CD果AB=1，那么曲线CDEF的长是多少？

B C A F

练一练：

1．弧长相等的两段弧是等弧吗？

D 2．有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对圆心角是81°，求这段圆弧的半径R． 3．如图正△ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以中阴影部分面积．

a为半径的圆相切于点D，E，F，求圆2AFB4．若一个扇形的弧长是12?，

陇川县民族中学

授课教师：孙继宽

猜一猜：

有风不动无风动， 不动无风动有风.(打一夏季常用纸制生活用品)

A n°o

B

A 60°o9

B

第二十四章 圆

问题1: 24.4 已知圆的半径是 9cm,那么60 的 弧长和扇形面积 圆心角所对的弧长是多少厘米？

第1课时

圆心角 n 圆心角度数 周角 360

弧长 l 圆周长 C

弧长 l

B O

A

180 °

1 2

1 2

1 2 R 2

B

A O

圆心角是周角的几分之几，那 1 1 1 2 R 90 ° 么弧长就是圆周长的几分之几。 4 4 4

BA

60 °O

1 6

1 6

1 2 R 6

圆心角 n 圆心角度数 周角 360 B A

弧长 l 圆周长 C

弧长 l

30 °O

1 12 1 360

1 12 1 360

1 2 R 12

B A

O

1°

1 2 R 360

B A

O

n°

n nn n 2 R l 360 360 R 360

180

问题1: 已知圆的半径是9cm,那么60 的 圆心角所对的弧长是多少厘米？A B 60° o9

解：由弧

24．4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积

1．了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式．

nπRnπR21

2．探索n°的圆心角所对的弧长l＝、扇形面积S＝和S＝lR的计算公式，并应用这些公式解决相关

1803602问题．

阅读教材第111至113页，完成下列知识探究．

知识探究

1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是________，n°的圆心角所对的弧长是________． 2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是________，n°的圆心角所对应的扇形面积是________． 3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝________. 自学反馈

︵

1．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧长AB的长是________． 2．一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为________． 3．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝________. 4．已知扇形的半径为3，圆心角为60°，那么这个扇形的面积等于________．

活动1 小组讨论

例1 在一个周长为180 cm的圆中，长度为60 cm的弧所对的圆心角为120度．

24．4 弧长和扇形面积

角所对的弧长为l＝

nπR180

，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义．

第1课时 弧长和扇形面积

1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程．

︵2．会利用弧长和扇形面积的计算公式

＝30°，则劣弧BC的长为________cm.

进行计算．

解析：连接OB、OC，∵AB是⊙O的切线，

∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥

一、情境导入

如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A

AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，

∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60×π×6︵

60°.∴BC的长为＝2π.

180

在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？

二、合作探究 探究点一：弧长 【类型一】求弧长 在半径为1cm的圆中，圆心角为

120°的扇形的弧长是________cm.

解析：根据弧长公式l＝

方法总结：根据弧长公式l＝

nπR180

，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R和它所对的圆心角n的大小．

【类型

曲线积分的计算法

1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 )

第二类 ( 对坐标 )

用参数方程

(1) 选择积分变量 用直角坐标方程

用极坐标方程

???转化

定积分

(2) 确定积分上下限 定理

设f(x,y)在曲线弧L的参数方程为?x??(t),??y??(t),?第一类: 下小上大 第二类: 下始上终

对弧长曲线积分的计算

L上有定义且连续(??t??)其中,且,?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数?Lf(x,y)ds???22f[?(t),?(t)]??(t)???(t)dt(???)注意:

1.定积分的下限?一定要小于上限?;.2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的特殊情形

(1)L:y??(x)a?x?b.b2f[x,?(x)]1???(x)dx.?Lf(x,y)ds???a(2)L:x??(y)c?y?d.d?Lf(x,y)ds?cf[?(y),y]1???(y)dy.2

例1

解

求I???L?x?acost,xyds,L:椭圆?(第?象限).?y?bsint,22I??20acost?bsint(?asint)?(bcost)dt??ab?2sintcostasint?bcostdt