抛物线内接三角形

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）等腰

（2）∵抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线

抛物线内的三角形问题

近年来中考数学试题中，经常出现以函数、几何知识为背景的探究性问题，特别是有关抛物线内的三角形问题，此类问题综合性强，往往涉及一次函数、二次函数、一元二次方程、三角形、相似三角形等多方面的知识，既考查学生基本运算的能力，又考查学生对函数、方程、数形结合、分类和待定系数法等思想方法的掌握情况，具有很好的选拔功能．本文举例分析如下：

例1 （2005·孝感市）如图1，开口向下的抛物线C：y=a（x-2）（x+3），与x?轴

交于A、B两点，y有最大值25

8

．

（1）求实数a的值；

（2）在抛物线C上是否存在点P，使△APB为直角三角形？若存在，求出P点坐标；?若不存在，说明理由．

分析本题是一道中考压轴题，综合性较强．第（1）?问由抛物线顶点坐标直接求得a的值．第（2）问由△APB为直角三角形及相似知识可得△APB内的线段关系，再由方程思想求解．

解（1）∵当x=-1

2

时取最大值，

∴25

8

=a（-

5

2

）·（

5

2

）．

∴a=-1

2

．

（2）由图1可知：A、B处不可能为直角，只可能∠APB=90°，且点P不能在x轴及x轴下方．

设存在满足条件的点P（x0，y0），（y0>0）．

作PM⊥AB于M，而A（-3，0），B（2，0），

则AM=3+x0，BM=

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20 04年第 1期 O

中学数学月刊

7 1

化简得正一Yo——一XO

硼，正。 故点，一

硼所以一硼一薯一 ( 2+ Y ) -一 Y ) - y 1( 2 y 1 2o y,

—— W .

瓦『二干层 a O UkA k M

一一 W.

性质 7 A是黄金椭圆不与坐标轴平 B

行的任意非直径弦，是 AB的中点， 那么k B o一— W. A kM—

性质 8在黄金椭圆中， 内切圆面积内 与外切圆面积 S外之比为 W,焦点圆面积 S 焦与外切圆面积 S外之比为 W . 证明 S ￣_一

证明设 A的坐标为 (,, x, Y)B( - ) ( - ) y, y, 2。

f+婴一1 ( , 1 )“

rz t b一 一

f+一， ( 1 2 )( ) ( ) W( 2一 1+ (2一Yz 2一 1得 ) - a y )一 0.

=

一

S

( )叫掣 ,一外 7 c n一’筹一 J~ a \硼 z一 一

一

抛物线内接三角形三边的斜率关系及其应用朱引弟胡福林 (苏省昆山市震川高级中学 250 ) 江 130定理 1设 P, Pz ), I正+ .

D P,P的率 P, 斜 0尸2一‘

△点图 I坐在\ 0边1 标() P如线所，壶

中考数学冲刺教案一

—抛物线专题精炼（压轴题）

一、知识精炼

题型：1、平行四边形与抛物线2、梯形与抛物线3、等腰三角形、菱形与抛物线

4、直角三角形与抛物线5、相似三角形与抛物线6、抛物线中的翻折问题

目标：1、熟练求解抛物线表达式

基本方法：将已知点逐个代入表达式，求解方程组。一般会有（0，y）,(x,0)特殊点。

基本公式：顶点坐标（

）

2、熟练求解面积S，长度L。主要是特殊三角形（直角、等腰等等）、平行四边形、梯形。

基本方法：结合已求得的抛物线的表达式（一般为纵坐标y）以及几何

图形的面积公式。

3、猜想某四边形的形状，包括菱形、正方形、等腰三角形等等。 基本方法： 菱形的判定：对角线相互垂直平分的平行四边形、临边相等的平行四边

形、四条边都相等的四边形。

正方形的判定：有一个顶角为直角的菱形、对角线相等的菱形。 4、抛物线翻折(只作参考)

基本方法：抓住抛物线线上某几个特征点即可。 若关于X轴对称，x坐标不变，y取相反数。 若关于Y轴对称，y坐标不变，x取相反数。 若关于y=x对称就是由点（x,y），翻折到点（y,x）,即横坐标与纵坐标

互换。

二、本次教学任务

主要围绕抛物线与三角形结合的问题进行教课。

1、完成第1、2两题，这两题与

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

nnn

2 2

数学通讯

2 0年第 l期 07 0

二次曲线内接最大三角形探析陶楚国(襄攀市长虹北路地矿所学校，湖北 415) 4 0 7

探求二次曲线的内接最大三角形是研究二曲线的一个重要方面，可以想象，抛物线、双曲线的内接三角形的面积可以无穷大 .此，文只讨论封闭二次因本—

当 S c一 3 。 . y; 2△ 4R时 3 3 R—y. R+一 2 R一一

.

曲线 (、圆 )的内接三角形 .圆椭 1圆内接最大三角形 如图 lB是半径为 R的，C圆 O的任一弦， B为一边的以 C圆内接最大三角形的高 AE必在 B的中垂线上 . B大小 C若 C变化。 A C的面积也随之变△ B化 . B= z D= y则根据设 E,E .相交弦定理有 .一 y 2 2 7 (R— ),=

即一要，: z=

=: R此， 要，时A B

A一√ . C

这是“内接三角形中正三角形的面积最大”圆

的一个代数证明. 2椭圆内接最大三角形 一

2

.2 .

。D

/=

设椭圆方程为 a+告 oln> b> O,考虑两 ( )先

J l

A

图 1

S加△ c=￣ (R— Y ( R— Y/ 2 ) 2 )=

1 f3 (R- y (R~ ) f y 2— ) 2—√3

种特殊位

本文先介绍圆内接三角形的3个性质,然后举例说明这些性质的运用.

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3 2

中学教研 (学)数

20 0 8年第 1期

圆内接三角形的 3个性质及其应用●夏平 (四川平昌县中小学教研室 660 ) 340ac b——一

本文先介绍圆内接三角形的 3个性质，然后举例说明这些性质的运用.

●

xz y

性质 1圆内接三角形两边之积等于第 3边上的高与圆的直径之积.

证明如图 5设 AA C的外接圆的直径为 2设， B R,

AB C AC A A H的外接圆的直径分别为 2 l2, H, H, AB R, 2 3因为 R.o=2 snL B Rl i HC=2 sn=2 i A, Rl iA Rs n

证明

如图 1 AA C内接于 60, E是 60的直径，, B ) A )L ABE=/ ADC, A B=L A D, _ L E C_

’

A D上B C于点 D,连结 B则 E,因此△A E,△A C。 B - . D ,

所以 R=尼同理 lRI= R2= R3= R.

得即

A B=A D,

由性质 3得HB HC=2 R HD。

A C=AE D. B A A

即

y z=2 H R D.

图5

同理可得

E

④D

Z, X=2 HE,y=2 R x R HF。

则

三角形 综合习题

一、选择题

1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ( )

A．三角形内部 C．三角形外部

B．三角形的一边上 D．三角形的某个顶点上

2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( ) A．4、5、6 C．5、7、12

B．6、8、15 D．3、9、13

3．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 ( ) A．0°＜α＜90° C．60°＜α＜180°

4．下列判断正确的是 ( )

A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等

5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是( ) A．x＜6 C．0＜x＜12

B．6＜x＜12 D．x＞12

B．60°＜α＜90° D．60°≤α＜90°

6．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三

角形 ( )

A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形

7．三角

第十一章：全等三角形导学案

黑龙江省依兰县第一中学

11.1《全等三角形》导学案

【使用说明与学法指导】

1. 课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过15分钟。 2 .组内探究、合作学习完成《课内探究》不超过20分钟。

3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。 4.人人参与，合作学习，人人都有收获，人人都有进步。 5.带﹡的题要多动脑筋，展示你的能力。

一、学习目标：

1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。 2.掌握全等三角形的性质，并运用性质解决有关的问题。

3.会用符号表示全等三角形及他们的对应元素，培养大家的符号意识。

二、重点难点：运用全等三角形的性质解决相关的计算及证明等问题。 三、学习过程

《课前预习案》

（一）、自主预习课本2—3页内容，回答下列问题：

1、能够______________的图形就是全等图形, 两个全等图形的_________和________完全相同。

2、一个图形经过______、______、_________后所得的图形与原图形 。

3、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做