解析几何四大经典结论

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有关解析几何的经典结论

一、椭 圆

点P 处的切线 PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角.

PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点

以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆

内切.

X

V 椭圆— 2 =1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,点P 为椭圆上任意一点

a b

2 Y

ZF 1PF 2 =,则椭圆的焦点角形的面积为

S F 1PF 2 =b tan?. 2 2 X

V 椭圆二 2 -1 (a > b > 0)的焦半径公式:

a b

| MF 1 Ha ex o , ∣MF 2 戶a -eχ√ F'-c,。)，F 2(c,O) M (X ), y °)). 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和

AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MF ⊥ NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 、A 为椭圆长轴上的顶点，

AP 和A 2Q 交于点 M A2P 和AQ 交于点 N 贝U MF ⊥N

《黄帝内经》试题

单选题

1、《素问 至真要大论》认为“皆属于肝”的病证为( C )

A.诸热瞀瘛 B.诸痛痒疮 C.诸风掉眩 D.诸禁鼓傈,如丧神守

2、《素问·至真要大论》对“诸寒之而热者”宜采用的治法为( D )

A.取之热 B.取之寒 C取之阳 D.取之阴

3、《素问·脉要精微论》“转摇不能”是哪一府精气将夺（ D ）

A.胸中之府 B.血之府 C.髓之府 D.肾之府

4、《素问 至真要大论》认为“皆属于肺”的病证为( D )

A.诸热瞀瘛 B.诸痛痒疮 C.诸躁狂越 D.诸气膹郁

5、《素问 举痛论》：百病生于气也，怒则（ B ）

A.气缓 B.气上 C.气消 D.气乱

6、《素问 百病始生》：三部之气，所伤异类，喜怒不节则（ A ）

A. 伤藏 B.伤上 C.伤下 D.伤脉

7、《素问 热论》“今夫热病者，皆伤寒之类也”中 “伤寒”一词的含义是( C )

A.外感风寒

篇一：平面解析几何的公式与结论

平面解析几何的公式与结论

1.直线的五种方程

（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式 (4)截距式

y?y1y2?y1x?y

?

x?x1x2?x1

(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).

?1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0) ab

（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

2.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 ①l1||l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①l1||l2?

A1A2

?B1B2

?C1C2

；

②l1?l2?A1A2?B1B2?0； 3．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

的两焦点，P为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即

，

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

的两焦点，P为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即

，

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.

二级结论在解析几何中的作用

一 椭圆、双曲线的“垂径定理”

22xy1.（14浙江理）设直线x?3y?m?0(m?0)与双曲线2?2?1（a?b?0）两条渐近线ab分别交于点A,B，若点P(m,0)满足PA?PB,则该双曲线的离心率是__________.

x2y22. 已知点是椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点，过原点的直线交椭圆于点

ab直于轴，直线

3. 设动直线

与椭圆

交于不同的两点

交椭圆于点，PB?PA，则该椭圆的离心率__________.

，垂

与双曲线

交于不同的两点且则符合条件的直线共有______条.

4.已知某椭圆的焦点是点为

，且

过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交

.椭圆上不同的两点

满足条件：

成等差数列.

（1）求该椭圆方程； （2）求弦中点的横坐标； （3）设弦

的垂直平分线的方程为

，求的取值范围.

x2y25.（16四川）已知椭圆：2?2?1(a?b?0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形

ab的三个顶点，点

在椭圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直

线

与椭圆交于，证明：

1

二 圆锥曲线的共圆问题

y2?1在y轴正半轴上的焦点，过F6. （11全国）已知O为坐标

第1章 矢量与坐标

§1.1 矢量的概念

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；

（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.

[解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心， 在矢量OA 、、 OC 、、、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？

[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图1-1

C .DE OF C

D O

E AB OC FA OB E

F OA 和；和；和；和；和

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边

ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD

是空间四边形时，这等式是否也成立？

[证明]：如图1-2，连结AC , 则在ΔBAC 中， 21AC. KL 与方向相同；在ΔDAC 中，2

1AC . NM

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号 22143102

课程名称 解析几何

课程类别 专业必修

教材名称 解析几何

制 订 人 汤建良

审 核 人 刘则毅

2005年 4 月修订

- 1 -

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质 1．课程类别：专业必修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（应用数学方向） 3．开设学期：第壹学期 4．学时安排：周学时3，总学时42 5．学分分配：3学分 （二）开设目的 解析几何是中学几何的继续与发展，既有深刻的数学理论意义，也有广泛的实际应用价值。在实际工程中的许多重要领域都有它的应用价值。通过本课程的学习，同学们还可以加深对中学三角和几何学的认识与理解，有助于解决一些初等数学问题。解析几何的一些思想方法在数学中具有普遍性。通过本课程的学习，能使学生提高数学素养，并为学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 （三）基本要求 掌握解析几何的基本理论与方法，深刻理解解

1 4（（2011巢湖一检）已知直线1l y kx =+：，椭圆E ：22

21(0)9x y m m

+=>．（Ⅰ）若不论k 取何值，直线l 与椭圆E 恒有公共点，试求出m 的取值范围及椭圆离心率e 关于m 的函数式；

（Ⅱ）当k =时，直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =uuu r uuu r ,求椭圆E 方程．

解：(Ⅰ)∵直线l 恒过定点M(0，1)，且直线l 与椭圆E 恒有公共点，∴点M(0，1)在椭圆E 上或

其内部，得()22

201109m m

+≤>，解得13m m ≥≠，且.(联立方程组，用判别式法也可)当13m ≤<时，椭圆的焦点在x

轴上，e =；当3m >时，椭圆的焦点在y

轴上，e =.

∴

)()133.m e m ≤<=??>??

， (Ⅱ)

由222

119y x y m ?=+????+=??，消去y

得222(10)9(1)0m x m +++-=. 设11()A x y ，，22()B x y ，

，则12x x +=，21229(1)10

m x x m -=+②. ∵M(0，1)，∴由2AM MB = 得122x x =- ③. 由①③得

2x =④. 将③④代入②得，

2

229(1)210m

篇一：解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0

1、定义：

2、几个概念：

① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数；1

② ；

4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p

3、如：AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN?l，N为垂足，BD?l，AH?l，D，H为垂足，求证：

（1）HF?DF； （2）AN?BN； （3）FN?AB；

（4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；

2

（5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p，x1x2?

12

p； 4

（6）1?1

|FA|

|FB|

?

2； p

（7）A,O,D三点在一条直线上

2

（8）过M作ME?AB，ME交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|?|FA|?|FB|；

2

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|e(e注意： |

F1F2|）的点的轨迹。

?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2