线性规划整数解有简单方法吗

第35卷第1期2005年1月

数学的实践与认识

Vol.35　No.1　

Jan.,2005　

确定线性规划全部最优解的方法

薛声家,　左小德

(暨南大学管理学院,广东广州　510632)

摘要:　使用凸多面体的表示定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,并基于单纯形法,给出最

优解唯一性条件以及当唯一性条件不满足时求出全部最优解的计算步骤,同时附有数值例子.

关键词:　线性规划;凸多面体;最优解;单纯形法

一般说来,实际上的经济管理问题所形成的线性规划的最优解给出了该实际问题的最佳实施方案.当线性规划有不止一个最优解时,便存在无穷多个最优解,求出线性规划的多个最优解是件很有意义的工作,因为它可以提供更多的最优方案供决策者选择.目前虽有不少文献对线性规划无穷多个最优解的情况进行了讨论,但有些存在错误和缺陷[1,2],另一些则讨论得不够完整、深入,缺乏详细有效的求解方法.本文使用凸多面体的表示(分解)定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,给出确定全部最优解的计算步骤,并附有数值例子.

1　线性规划最优解的一般表达式

考虑标准型线性规划问题:

Maxz=cTx

(SLP)s.t.Ax=b

xE0

　　其中,A为m×n阶矩阵,c和x为n维列向量,b为m维列

管理运筹学 西北大学 经济管理学院 茹老师课件

运 筹 学西北大学经济管理学院 茹少峰 rsf00@http://www.77cn.com.cn

管理运筹学 西北大学 经济管理学院 茹老师课件

第8章整数线性规划

本章要求理解整数规划的含义；掌握两个变量的纯整数线性规划模型的图解法；掌握分枝定界 法的思想和方法；了解割平面法的原理；能够正 确引入0—1变量建立0-1线性规划模型；掌握指派 问题的求解算法；正确使用计算机软件求解整数 规划问题。

管理运筹学 西北大学 经济管理学院 茹老师课件

8.1 整数线性规划问题的提出在前面讨论的线性规划问题中，最优解可能是分数或小数，但对于某些 具体问题常要求最优解是整数。我们称这样的线性规划问题为整数线性规划 问题(Integer Linear Programming 简记为 ILP) 。 在整数规划中如果所有的变量都限制为整数，就称为纯整数规划(Pure ILP),如果仅一部分变量限制为整数，就称为混合整数规划(Mixed ILP), 整数规划的一个特例就是 0—1 规划，它的变量仅取 0 或 1。 例 8-1 投资决策问题 某部门在今后五年中可用于投资的资金总额为

第一章 线性规划

§1 线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润最大，则x1,x2

应满足

（目标函数）maxz=4x1+3x2

第一章 线性规划

§1 线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润最大，则x1,x2

应满足

（目标函数）maxz=4x1+3x2

篇一：典型例题：简单的线性规划问题

典型例题

【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.

【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

参考答案

例1：

【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.

【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

或其平面区域如图：

或或

∴面积S=×4×4=8

【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.

例2：

【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.

【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

z=252x+160y，

作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图

作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.

观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满

简单的线性规划问题（1）

三维目标

知识与能力：了解线性规划的常用术语、掌握确定二元一次不等式所表示的平面区域得方法

过程与方法：通过实例介绍线性规划的常用术语，利用二元一次方程将平面分成两部分进而确定二

元一次不等式所能表示的平面区域

情感态度与价值观：通过学习，激发学生探索欲望、热爱数学学习的激情，引导正确的价值观、人

生观，使学生不断建立信心，成为自主学习的真正主体。

教学过程： 一．创设情景

我们先考察生产中的遇到的一个问题：

某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲种产品需要A种原料4吨、B种原料12吨，产生的利润为2万元；生产1吨乙种产品需要A种原料1吨、B种原料9吨，产生的利润为1万元。现在库存A种原料10吨、B种原料60吨，如何安排生产才能使利润最大？ 为理解题意，可将已知数据整理成下表： 甲种产品（1吨） 乙种产品（1吨） 现在库存（吨） A种原料（吨） B种原料（吨） 4 12 1 9 10 60 利润（万元） 2 1 设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x,y，利润为P（万元）。根据题意，A,B两种原料分别不得超过10吨和60吨，又常量不可能是负数，于是可得二元一次不等

第一章 线性规划

§1 线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润最大，则x1,x2

应满足

（目标函数）maxz=4x1+3x2

简单线性规划解法要略

线性规划是解决现实生产、生活中,在有限的人力、物力、财力等情况下,获得最大利润、最节约资源等最优问题的一种方法,所以它有着广泛的应用性;另外,线性规划是联系几何知识和代数知识的交汇点，是数形结合思想的集中体现.二元一次不等式表示的平面区域,充分体现了方程和不等式的相互联系；是高中数学的重要内容.近几年全国各地高考题中,几乎每份试卷都有对这部分内容的考查.本文结合典型试题进行分类解析，希望能对同学们有所启发和帮助. 一﹑解线性规划问题的步骤：

①寻找线性约束条件，线性目标函数；

②作图，由二元一次不等式组表示的平面区域作出可行域； ③理解目标函数：（1）直线形；（2）距离型；（3）斜率型. 结合目标函数，求出最优解； ④检验，考虑实际意义。

二﹑二元一次不等式表示的平面区域：

1.在平面直角坐标系中，设有直线Ax+By+C=0（B不为0）及点

P(x0,y0)，(1)若B>0，Ax+By+C>0，则点P在直线的上方，此时

不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域； (2)若B>0，Ax+By+C<0，则点P在直线的下方，此时不等式

Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域；

(3) 若B<0, 我们都把Ax+By+C>0（或＜0）中y项的系数B化为正值.

2.直线方程有时候是斜截式给出的,

简单线性规划解法要略

线性规划是解决现实生产、生活中,在有限的人力、物力、财力等情况下,获得最大利润、最节约资源等最优问题的一种方法,所以它有着广泛的应用性;另外,线性规划是联系几何知识和代数知识的交汇点，是数形结合思想的集中体现.二元一次不等式表示的平面区域,充分体现了方程和不等式的相互联系；是高中数学的重要内容.近几年全国各地高考题中,几乎每份试卷都有对这部分内容的考查.本文结合典型试题进行分类解析，希望能对同学们有所启发和帮助. 一﹑解线性规划问题的步骤：

①寻找线性约束条件，线性目标函数；

②作图，由二元一次不等式组表示的平面区域作出可行域； ③理解目标函数：（1）直线形；（2）距离型；（3）斜率型. 结合目标函数，求出最优解； ④检验，考虑实际意义。

二﹑二元一次不等式表示的平面区域：

1.在平面直角坐标系中，设有直线Ax+By+C=0（B不为0）及点

P(x0,y0)，(1)若B>0，Ax+By+C>0，则点P在直线的上方，此时

不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域； (2)若B>0，Ax+By+C<0，则点P在直线的下方，此时不等式

Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域；

(3) 若B<0, 我们都把Ax+By+C>0（或＜0）中y项的系数B化为正值.

2.直线方程有时候是斜截式给出的,

教案

1.图中表示的区域满足不等式( )

A.2x+2y－1＞0 B.2x+2y－1≥0

C.2x+2y－1≤0 D.2x+2y－1＜0

2.下列各图中表示的区域是不等式3x+2y+6≥0的解的是(

)

3.不等式组 x 0

表示的区域是(

y 0

)

4.不等式组 x 2

x y 3 0表示的平面区域是(

)

教案

参考答案：1.B 2.C 3.C 4.D