排列组合问题的几种基本方法

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.页脚. 排列组合问题

1. 分组（堆）问题

分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)

处理问题的原则：

①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!

③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.

④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.

1. 分组（堆）问题

例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？

解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：

⑴先将四项工程分为三“堆”，有

211421226C C C A

种分法；

⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，

有3!＝6种给法.

∴共有6×6＝36种不同的发包方式.

2.插空法：

解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.

♀ ♀ ♀ ♀ ♀

♀ ♀

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？

解：分两步进行：

55A 有=

舒兰市实验中学高二提优数学单元检测（13）

解排列组合问题的常用技巧

1、特殊元素·优先法

例1 ：0、3、5、6、8这五个数字，组成无重复数字三位数，偶数有几个？ 2、间接法

例2 、7人按甲不在排头，乙不在排尾站成一排，有多少种排列方法。 例3、100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？

3、元素相邻·捆绑法

例4、4个老师3个学生排成一列，要求学生排在一起，共有几种排法？ 例5、 7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？ 4、元素不相邻·插空法

例6、5个男生3个女生排成一排，女生不相邻，共有几种排法？

例7、大街上有编号为1、2、3??10的十盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可关掉其中的三盏灯，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，那么有多少种关灯方法? 5、元素顺序固定·除法处理法

例8、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？

例9、7人站成一排，甲、乙、丙顺序固定，由多少种不同的排列方法？ 6、元素分排，直排处理法

例10、2个老师，4个女生，12个男生，排成三排照相，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老师

排列组合常用方法题型总结

【知识内容】

1．基本计数原理

⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2??mn种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类

计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2． 排列与组合

⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的

排列组合中的分组问题

单位：新沂市高级中学 姓名：宋小林

排列组合的内容紧密联系实际，知识背景丰富，题型丰富多样。在高考中常用现实社会热点问题为载体进行考查，常考常新。而分组问题是排列组合中的重点也是难点。是许多同学看起来简单而处理问题时又很容易出错的一类题，下面我就排列组合中的分组问题，结合我个人在教学中的体会和做法，谈一些自己的看法。

关键词：分组 均匀 非均匀 有序 无序

排列组合中的分组问题有以下几类：

1、不均匀分组无序

例1. 把6个人分组成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数。

（1） 分成甲、乙、丙三组，其中甲组3人，乙组2人，丙组1人.

（2） 分成3组，其中一组3人，一组2人，一组1人.

解：本题为非均匀分组问题且与顺序无关

3（1）从6人中任选3人，为甲组有C6种选法，再从余下的3人中任选2人

13为乙组，有C32种选法，剩下1人为丙组，故共有C6*C32*C1种不同的分法。

3（2）先从6人中任选3人为一组有C6种选法，然后从剩下的3人任选2人

13为一组有C32种选法，最后剩下的一人为一组，故共有C6*C32*C1种不同的分法。

点评：由于各组人数不同，故此问题属于非平均分组问题。尽管（1）给出了甲、乙、丙3组，而（2）没有给出，

高中数学排列组合问题常用的解题方法

一、相邻问题捆绑法

题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．

例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。

二、相离问题插空法

元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．

例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。

三、定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．

例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。

四、标号排位问题分步法

把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．

例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。

五、有序分配问题逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用

排列组合问题经典题型与通用方法

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

1(,ij1,2?,3,4)例3.已知集合A?{1,2,3,?,19,20}，集合B?{a1,a2,a3,a4}，且B?A，若|ai?aj|?则满足条件的集合B有多少个？

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

，

例4.（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（ ）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

（2）由数字0，1，2，3，4，

[标题] 排列组合综合问题

教学目标

通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题 的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 教学重点与难点

重点：排列、组合综合题的解法． 难点：正确的分类、分步． 教学用具 投影仪． 教学过程设计 （一）引入 师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复 习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法． 先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧!

生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要 注意做到“不重”与“不漏”．

师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用 分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法． 当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可 以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等． 解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”． （教

[标题] 排列组合综合问题

教学目标

通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题 的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 教学重点与难点

重点：排列、组合综合题的解法． 难点：正确的分类、分步． 教学用具 投影仪． 教学过程设计 （一）引入 师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复 习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法． 先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧!

生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要 注意做到“不重”与“不漏”．

师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用 分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法． 当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可 以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等． 解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”． （教

彭湃中学吴崇东复习巩固

计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵活多样, 不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难发现。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题方法、策略、模型是必要的。

知识结构网络图：

排列基本原理排列数公式组合数公式组合应用问题组合数性质两个原理的区别与联系：

名称内容分类原理做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法分步原理做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.定义相同点不同点做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成注意：

1.分类计数原理(加法原理)：

N=m1+m2+?+mn2.分步计数原理（乘法原理）：

N=m1m2?mn3.分类计数原理、分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，

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排列组合问题答题策略

排列组合问题的若干解题策略 一，相邻问题--整体捆绑法

例1，7名学生站成一排，甲已必须站在一起，有多少种方法？ 二，不相临问题—选空插入法

练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同方法？b5E2RGbCAP 三；特殊元素—优先考虑法

例3；1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有多少种不同的排法？

练习；乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？p1EanqFDPw 对于含有限定条件的排列组合问题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 四；排除法

例4；6个人站成一排，若甲不站在排头也不站在排尾，有多少种不同排法？

练习；6个人站成一排，若甲不站在排头，已不在排尾，有多少种不同排法？

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排列的问题有时比较复杂，特别是分类时，所以有时可以从所有的排列中，把不