梯度散度旋度公式大全推导

梯度、散度和旋度——定义及公式

1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）

哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为?。

三维坐标系下，有

=i j k x y z

????++???r r r 或者

(,,)x y z

????=??? 其中,,i j k r r r 分别为xyz 方向上的单位矢量。

2 梯度（Gradient ）

2.1 梯度的定义

梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。

(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z

??????=?=++=??????r r r 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。

2.2 梯度的性质

?c=0

?(RS)= ?R+?S

21()(),0R S R R S S S S

?=?-?≠ [()]()f S f S S '?=?

其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。

3 散度（Divergence ）

散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。设矢量函数

=(,,)x y z x y z f f i f j f k

梯度

gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf

§ 1.7 静电场的散度和旋度

现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程.

1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848）

在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比

的极限

(1.7-1)

为矢量场 A在该点的散度（divergence of A）

它是一个标量.显然

若则该点散度▽·A ≠ 0，该点就是矢量场A的一个源点

若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点

若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场.

在直角坐标系中

(1.7-2)

▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.

高斯定理（Gauss, Theorem）

对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：

(1.7-3)

即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分. 由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.

2.电场的散度方程

大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程

(1.7-4)

其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4

第7章 涡度、散度与垂直速度

涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。 §7.1 涡度的表达式

涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为1s。根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。

更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：

?i?j??yv?k? ?zw ??V3???xu?w?v??u?w??v?u? ?(?)i?(?)j?(?)k

?y?z?z?y?x?y??? ??i??j??k (7.1.1) ??? 其中V3(?ui?vj?wk)是三维风矢。

虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度?。?的表达式为： ???v?u?

第7章 涡度、散度与垂直速度

涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。 §7.1 涡度的表达式

涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为1s。根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。

更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：

?i?j??yv?k? ?zw ??V3???xu?w?v??u?w??v?u? ?(?)i?(?)j?(?)k

?y?z?z?y?x?y??? ??i??j??k (7.1.1) ??? 其中V3(?ui?vj?wk)是三维风矢。

虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度?。?的表达式为： ???v?u?

三．狗腿严重度

狗腿严重是用来测量井眼弯曲程度或变化快慢的参数（以度／100英尺表示）。可用解析法、图解法、查表法、尺算法等来计算狗腿严重度k。

1．第一套公式

2．第二套公式

cosγ＝cos?1cos?2＋sin?1sin?2 cosΔ?………………………………………（9－3）

本式是由鲁宾斯基推导出来的，使用非常普遍。美国人按上式计算出不同的?1、?2和Δ?值下的狗腿角γ值，并列成表格，形成了查表法。

3．第三套公式

γ——两测点间的狗腿角。 若将三套公式作比较，第一套公式具有普遍性，适合于多种形状的井眼，第二套只适用于平面曲线的井眼（即二维井型），第三套是近似公式，用于井斜和方位变化较

小的情况。

四．测斜计算的主要方法

测斜计算的方法可分为两大类二十多种。一类是把井眼轴线视为由很多直线段组成，另一类则视其为不同曲率半径的圆弧组成。计算方法多种多样，测段形状不可确定。主要的计算方法有正切法、平衡正切法、平均角法、曲率半径法、最小曲率法、弦步法和麦库立法。从计算精度来讲，最高的是曲率半径法和最小曲率法，其次是平均角法。以下各图和计算公式中下角符号1、2分别代表上测和下测点。 1．平均角法（角平均法）

此法认为两测点间的测段为一条直

三．狗腿严重度

狗腿严重是用来测量井眼弯曲程度或变化快慢的参数（以度／100英尺表示）。可用解析法、图解法、查表法、尺算法等来计算狗腿严重度k。

1．第一套公式

2．第二套公式

cosγ＝cos?1cos?2＋sin?1sin?2 cosΔ?………………………………………（9－3）

本式是由鲁宾斯基推导出来的，使用非常普遍。美国人按上式计算出不同的?1、?2和Δ?值下的狗腿角γ值，并列成表格，形成了查表法。

3．第三套公式

γ——两测点间的狗腿角。 若将三套公式作比较，第一套公式具有普遍性，适合于多种形状的井眼，第二套只适用于平面曲线的井眼（即二维井型），第三套是近似公式，用于井斜和方位变化较

小的情况。

四．测斜计算的主要方法

测斜计算的方法可分为两大类二十多种。一类是把井眼轴线视为由很多直线段组成，另一类则视其为不同曲率半径的圆弧组成。计算方法多种多样，测段形状不可确定。主要的计算方法有正切法、平衡正切法、平均角法、曲率半径法、最小曲率法、弦步法和麦库立法。从计算精度来讲，最高的是曲率半径法和最小曲率法，其次是平均角法。以下各图和计算公式中下角符号1、2分别代表上测和下测点。 1．平均角法（角平均法）

此法认为两测点间的测段为一条直

马歇尔-勒纳条件：假定、推导和说明1

马歇尔-勒纳条件研究一定前提条件下

本币对外贬值改善贸易收支的必要条件

1)假定：

局部均衡：进出口值由进出口商品的相对价格和进出口量决定，其他影响进

出口的因素，如消费者的收入、其他商品的价格、消费者的偏好等都不变； 贸易商品的供给弹性无穷大，进出口的价格不因需求的增加而上涨，也不因

需求的减少而下降（贬值国是小国）；

不考虑资本流动，即国际收支等于贸易收支；

初始条件假定：假定贬值前贸易差额不大，进出口在贬值前基本平衡;

设出口商品的汇率弹性为 X，进口商品的汇率弹性为 M，即：

（1）

其中：

Δ:变化量，

X和M:分别表示出口数量和进口数量，

r:直接标价的汇率（一单位外币可兑换的本币数量）。本币对外贬值时，

r增加。

2)推导过程：

由于一国通常采用本币来记录国际收支，因此，我们讨论用本币表示国际收支的情况。

在没有国际资本流动的假定下，国际收支B等于贸易收支：

B PX rPM （2）

其中Px为出口商品以本币表示的价格，PM为进口商品以外币表示的价格，并假定这些价格不变。

如果本币贬值，即r增加时，dB>0，则本币贬值能起到改善贸易收支的作用。 对（2）式求导，得： 1本推导过程和说明的主要来源

谈矢量的旋度和保守场

维普讯资htp:t//wwwcq.ipvc.m

o第27卷第 5期 V 0 7 No 5 _2l .丽水院学报学J ORUAL NFOL S IHU IUIN VERS TY I20 0年 5100C月 0 5 t2 0.

谈矢的旋量度保和守场马松(丽水华院学数理学院 .江丽水浙 3 3)0 2 00摘:要个保守场来一说， 对表征这个场的矢量的旋度处 处为零； 之，矢个量的旋度处处为，反零一这场个一定不是保守场。

关键词：矢量；度旋；守场保中图分号类 4:1 O 4 文献识标码： A文章编 号：10 08— 6 4( 5 00 0—5—0 7 9 20 ) 05 22

A s u s o bu h rg Dne re Di c i s n oatt e T niu eg a dt s n a r ieF il f eV r n he tC0 e tv v e do c o

M a Sn h u o a

(g o ee f e tt as d yPi, i Unu v tr,i uZ ea 3g3 , hn0 )C g l h am n ih s ssLi ies Ly is j hn 20 0

马歇尔-勒纳条件：假定、推导和说明1

马歇尔-勒纳条件研究一定前提条件下

本币对外贬值改善贸易收支的必要条件

1)假定：

局部均衡：进出口值由进出口商品的相对价格和进出口量决定，其他影响进

出口的因素，如消费者的收入、其他商品的价格、消费者的偏好等都不变； 贸易商品的供给弹性无穷大，进出口的价格不因需求的增加而上涨，也不因

需求的减少而下降（贬值国是小国）；

不考虑资本流动，即国际收支等于贸易收支；

初始条件假定：假定贬值前贸易差额不大，进出口在贬值前基本平衡;

设出口商品的汇率弹性为 X，进口商品的汇率弹性为 M，即：

（1）

其中：

Δ:变化量，

X和M:分别表示出口数量和进口数量，

r:直接标价的汇率（一单位外币可兑换的本币数量）。本币对外贬值时，

r增加。

2)推导过程：

由于一国通常采用本币来记录国际收支，因此，我们讨论用本币表示国际收支的情况。

在没有国际资本流动的假定下，国际收支B等于贸易收支：

B PX rPM （2）

其中Px为出口商品以本币表示的价格，PM为进口商品以外币表示的价格，并假定这些价格不变。

如果本币贬值，即r增加时，dB>0，则本币贬值能起到改善贸易收支的作用。 对（2）式求导，得： 1本推导过程和说明的主要来源