不定积分换元法例题

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不定积分换元法例题1

标签:文库时间:2024-10-05
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【第一换元法例题】

1、9999(57)(57)(571

1(57)(57)55

)(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111(57)5550

d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5

x d x dx dx d x +=+==+??

2、

1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=????

221(l 1ln ln (ln )2n )2

x x x d C x C =?=+=+? 【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===??

3(1)sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --====?????

cos ln |cos |c ln |co s |o s x x

不定积分例题及答案

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第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注:(1)若f(x)连续,则必可积;(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1:d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx; ?????dx性质2:F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C; 性质3:[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 (凑微分法) 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有换元公式: ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零,f[?(t)]??(t)有原

不定积分的典型例题

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不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

x2 1

例1.計算 4

x 1

解法1

x4 1 (x2

2x 1)(x2 2x 1).

而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以

x2 1111

( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2

1

221(x )

22

1d(2x 1)

1

221

(x )

22

1d2x 1)

)

2(

2

2x 1) 1

2

2(

2x 1) 1

2

1

2x 1) 2x 1)] c.

x2 1(x2 2x 1) 2x

22

解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)

dx2x

4 2

x 1x 2x 1

11 2x 1) arctanx2 c.

22 解法3

11

1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx

2

1

d(x )

1x2 1 c

1222x(x ) 2x lim

x 0

12

x2 1x

22

,

不定积分的典型例题

1x2 1 lim , x 0

22x22由拼接法可有

2

x 1

dx x4 1

1x2 1 22x22

1x2 1 22x22

c,x 0

x 0. c

x 0

x3 2

例2.求 . 22

(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式

x3 2ABCx D

不定积分的例题分析及解法

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不定积分的例题分析及解法

这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u??(x),而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换,分部积分法是通过“部分地”凑微分将?ud?转化成??du,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法,例如f(x)为有理函数时,通过多项式除法分解成最简分式来积分,f(x)为无理函数时,常可用换元积分法。 应该指出的是:积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强,而且业已证明,有许多初等函数是“积不出来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如

?sinxxdx;?e?x2dx;?1lnxdx;?dx1?ksinx22(其中0?k?1)等。

这一方面体现了积分运算的困难,另一方面也推动了微积分本身的发展,在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。

一、疑难分析

(一)关于原函数与不定积分概念的几点说明

(1)原函数与不定积分是两个不同的概念,它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数

f(x),若存在函数F(x),使得该区间上每一点x处都有F?(x)

不定积分例题及标准答案

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第4章不定积分

习题4-1

1.求下列不定积分:

知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!

★(1)

思路: 被积函数5

2

x -=,由积分表中的公式(2)可解。

解:53

22

23x dx x C --==-+?

★(2)dx

?

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

解:1

14111

3332223()2

4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?()

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

解:22

32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???()

★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

解:3153

222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++?

思路:观察到422223311311

x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x

不定积分表

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Yz.Liu.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言:

微积分创立之初,牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论,但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上,莱布尼茨对之要求甚严,并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展,公式表逐渐全面,分类亦几乎

覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要,亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法,以及每个积分的简要推演方法,其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单位,并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式

之反用,或均不在此给出推演方法,或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组,151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式:

?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数

?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数

(3).?exdx?ex?C

(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数

(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?

用第一换元法求不定积分的五步教学法

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不定积分

埭镪

思想方法… 一一 ……

用第一换元法求不定积分的五步教学法◎魏东仓 (宝鸡职业技术学院 7 11) 2 0 3求一个函数的不定积分是积分学的一个基本 J司题, 解一

决这类问题的方法多种多样,中有一种方法就是第一换其元法。学生学习这种方法时往往觉得不易掌握,对这而针一

f1 c2)c (一0X s: s do

种情况,者根据多年的教学经验,这部分的教学归纳笔将为五个步骤,称“步教学法”在实践中收到了较好的简五,效果 .面将这种方法介绍如下:下一

』c+c。= ds』s c 。 ds。 2CO X+ S

J ox s sd o c2 c

』d,) (。

0g (] (d i x Gx x f G ) )

一s+ J2 c【u o d旦一CS +C O X+ 1cs+ 0 c s+ e o‰

fi(] ) G ) g 一

。J u] [g )一∽ (旦坌 o,u+C 4( ) 变量还厘[ )+C G(] .上面各步中数。是一个常数,中变形是关键,微分其凑是核心,元是手段 .变形中要教会学生把 _ )成是某换在厂看 (一

这道题中被积函数本身就是复合函数,不能把 s 但 i n作为中间变量,要利用三角恒等式变换后将 C S作为中而 O 间

用第一换元法求不定积分的五步教学法

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不定积分

埭镪

思想方法… 一一 ……

用第一换元法求不定积分的五步教学法◎魏东仓 (宝鸡职业技术学院 7 11) 2 0 3求一个函数的不定积分是积分学的一个基本 J司题, 解一

决这类问题的方法多种多样,中有一种方法就是第一换其元法。学生学习这种方法时往往觉得不易掌握,对这而针一

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种情况,者根据多年的教学经验,这部分的教学归纳笔将为五个步骤,称“步教学法”在实践中收到了较好的简五,效果 .面将这种方法介绍如下:下一

』c+c。= ds』s c 。 ds。 2CO X+ S

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这道题中被积函数本身就是复合函数,不能把 s 但 i n作为中间变量,要利用三角恒等式变换后将 C S作为中而 O 间

不定积分培优讲义

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不定积分

内容要点

1.(影子法 LIATE) 2.基本的2个? 一、基本概念与性质

1.原函数与不定积分的概念

2.不定积分的性质

设 ?f?x?dx?F?x??C,其中F?x?为f?x?的一个原函数,C为任意常数。则 (1)

?F??x?dx?F?x??C

?? 或?dF?x??F?x??C

???(2) ??f?x?dx??f?x? 或d??f?x?dx??f?x?dx

(3) (4) ?kf?x?dx?k?f?x?dx ?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ??3.原函数的存在性 1)设f?x?在区间I上连续,则f?x?在区间I上原函数一定存在 2)初等函数的原函数不一定是初等函数

?sin?x2?dx,?cos?xxa?12?dx,?sinxxdx,?cosxxdx,?dxlnx,?e?xdx

2二、基本积分公式 1.?xdx?1aa?1?C (a??1,实常数)

2.?dx?lnx?C

x3.?adx?x1lnaxa?C (a?0,a?1)

x?exdx?e?C

4.?cosxdx?sinx?C 5.?sinxdx??cosx?C

6.?secxdx?7.?cscxdx?22?co

用第一换元法求不定积分的五步教学法

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不定积分

埭镪

思想方法… 一一 ……

用第一换元法求不定积分的五步教学法◎魏东仓 (宝鸡职业技术学院 7 11) 2 0 3求一个函数的不定积分是积分学的一个基本 J司题, 解一

决这类问题的方法多种多样,中有一种方法就是第一换其元法。学生学习这种方法时往往觉得不易掌握,对这而针一

f1 c2)c (一0X s: s do

种情况,者根据多年的教学经验,这部分的教学归纳笔将为五个步骤,称“步教学法”在实践中收到了较好的简五,效果 .面将这种方法介绍如下:下一

』c+c。= ds』s c 。 ds。 2CO X+ S

J ox s sd o c2 c

』d,) (。

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。J u] [g )一∽ (旦坌 o,u+C 4( ) 变量还厘[ )+C G(] .上面各步中数。是一个常数,中变形是关键,微分其凑是核心,元是手段 .变形中要教会学生把 _ )成是某换在厂看 (一

这道题中被积函数本身就是复合函数,不能把 s 但 i n作为中间变量,要利用三角恒等式变换后将 C S作为中而 O 间