二次函数有几个解的判定

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二次函数：图象位置与a ，b ，c ，△的符号

（1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ?抛物线交y 轴于 ；

0

当b a ,同号时?对称轴在y 轴 ；0=b ?对称轴为 ；b a ,异号

?对称轴在y 轴 ，简称为 ．

（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数,当042>-ac b 时，抛物线与x 轴有交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点；当042<-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点．

一、通过抛物线的位置判断a ，b ，c ，△的符号．

例1．根据二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，判断a 、b 、c 、b 2-4ac 的符号

（1）a ＋b ＋c_______0（2

）a －b ＋c_______0 （

3）2a －b _______0（4）4a ＋

2b ＋c_______0 二、通过a ，b ，c

，△的符号判断抛物线的位置：

例1．若0,0,0<>

例2．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2

+bx+c 经过 象限． 例3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 且a ＜0，a-b+c ＞0；则一定有b 2-4ac

二次函数图像—符号确定

1、二次函数f（x）=ax2+bx+c，图象如图（ ）

又由图可知，当X＝-1时，对应的点在第三象限，将X＝-1代入y＝ax2＋bx＋c，得a-b+c＜0

∴将a-b+c＜0与a+b+c=2相减，得 -2b＜-2 b＞1

∴④是错的。

2、二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，则a的取值范围是（ ）

3、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1．则以下结论错误的

是（ ）

4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论正确序号是 （只填序号）．①abc＞0；②c=-3a；③b2+ac＞0．

5、如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③

2a-b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号）

6、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与y轴相交一点C，与x轴负半轴相交一点A，且OA=OC，

有下列5个结论：

其中正确的结论有

1．抛物线y=﹣x+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（ ）

2

A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1

2．如果将二次函数y=2x的图象沿y轴向下平移1个单位，再向右平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是___

3．如图，抛物线y1=-x+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：

22

（1）抛物线y2的解析式是_____，顶点坐标为_____； （2）阴影部分的面积_____;

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为_____，开口方向_____，顶点坐标为_____．

4.如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标． （2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

二次函数的应用——求周长面积问题

1．已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．

（1）求二次函

浅谈正定二次型的判定方法

摘 要 二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性

及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。

关键词 二次型 矩阵 正定性 应用

1 引 言

在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.

现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.

2 二次型的相关概念 2.1 二次型的定义

设p是一个数域，aij?p，n个文字x1,x2,…，xn的二次齐次多项式

nn f(x1,x2,?,xn)?ax?2a12x1x2?2a13x1x3???ax?21112nnn??axxijii?1j?1j

(a

《二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与字

母系数a、b、c的关系》

说 课 稿

一.教学背景分析： （一）教材分析

本节课的教学内容是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与字母系数a、b、c的关系， 是二次函数图像和性质及一元二次方程与函数的综合性应用，是二次函数教学中的重点、难点之一，它是集图像、符号、文字为一体的问题。同时也是近年来中考命题的热点，在中考试卷中通常以选择题（3分）或填空题（4分）的方式呈现。因为所占的分值少，加之需要学生有良好的学习基础，所以教学中未能引起教师和学生的足够重视。学生在识图的过程中往往容易忽略特殊点、对称轴问题，不去归纳和总结解决这类问题的模型，所以其中一个选择支的误判，就会增加失分，而且影响学生对后面二次函数综合性问题解决的能力的提升。因此通过这一教学内容做专题性的研讨，尝试寻求建立解决这一问题的模型，优化解决问题的方法。从而提高学生分析和解决问题的能力。 （二）学情分析：

学生已经学习了二次函数图像及性质等相关内容，具有一定的知识储备，能运用图像和性质对简单的问题进行分析和解答，但部分学生的计算能力、推理能力较弱，对这类问题的数形结合思想、特殊点函数值的利用、式子的变形技巧等，不能结

二次函数应用

1.（2012?聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 2.（2010?武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利

二次函数

【教学目标】

1．了解二次函数的意义，会用待定系数法求二次函数的解析式．

2．会用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，并运用二次函数的性质解决相关问题．

3．了解二次函数与一元二次方程的关系，进一步体会数形结合、转化等思想方法．

【教学重难点】

二次函数的图象和性质的应用．

【教学过程】

一、基础训练

1．二次函数y ax2 bx c（a 0）图象如图所示．

（1）你能根据图中的信息得出哪些结论？

（2）若抛物线与x轴交点的横坐标为-1和5，则该抛物线的对称轴为 ，方程ax2 bx c 0的根为；

（3）若抛物线的顶点坐标为（2，9），则方程ax bx c m有实数根的条件是 ；

（4）在（2）的条件下，若抛物线与y轴交于点（0，5），请求出该二次函数解析式．

2

二、合作交流

1．二次函数y ax2 bx c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a b＝

220；③当m≠1时，a b＞am2 bm；④a b c＞0；⑤若ax1 bx1＝ax2 bx2，且x1

≠x2，则x1 x2＝2．其中正确的有（ ）．

A．①②③

C．②⑤ B．②④ D．②③⑤

2．若抛物线y mx (m 2)x 1m

§3.3 二次函数

A组 2015年全国中考题组

一、选择题

1．(2015·山东泰安，19，3分)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：

x y … … －2 －11 －1 －2 0 1 1 －2 2 －5 … … ( )

由于粗心，他算错了一个y值，则这个错误的数值是 A．－11

B．－2

C．1

D．－5

解析 由表格知二次函数的对称轴为x＝0，且过点(0，1)，(1，－2)，∴b?－2a＝0，

?a＝－3，?

解得?b＝0，∴二次函数解析式为y＝－3x2＋1.当x＝2时，?c＝1，

??a＋b＋c＝－2.?c＝1.y＝－3×22＋1＝－11，故选D. 答案 D

2．(2015·四川巴中，10，3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc<0 ②2a＋b＝0 ③a－b＋c>0 ④4a－2b＋c

B．只有①

( ) C．③④

D．①④

b

解析 由图象可知：a>0，b>0，c<0所以abc<0；故①正确；对称轴－2a＝－1，可得b＝2a，故②错误；当x＝－1时，a－b＋c<0，故③错误；当x＝－2时，4a－2b＋c<0，故④正确． 答案 D

3．(2015·四川泸州，9，3分)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是( )

A．x<－4或x>2

7、二次函数（八上ch22）

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念； 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征： 二、二次函数的性质

1. y?ax2的性质：a 的绝对值越大，开口越小。（a的符号、开口方向、顶点、对称轴、性质） 2. y?ax2?c的性质：（上加下减）。 3. y?a?x?h?的性质：（左加右减）。 4. y?a?x?h??k的性质： 三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?；

⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向右(h>0)【或左(h

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k222

2. 平移规律：“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．“左加右减，上加下减”． 四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到b?4ac?b2b4ac?b2?前者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a4a2a4a??222五、二次函数y

《二次函数复习》说课稿

瓦窑沟中学 葛云虎

今天我要说课的课题是《二次函数的复习》，这一节课是九年级现行人教版教材函数这一板块的重要内容。通过本节课的复习，对二次函数的有关性质进一步巩固和提高，下面我就针对本课时内容进行具体分析。 一、教材分析

1．教材所处的地位和作用

函数的知识贯穿于整个初等数学体系之中，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为以后学习一元二次不等式等奠定基础。在历届中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通。

2．学生情况分析

本班学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力，在新课教学中学生已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。

3．教学目标

（1）认知目标：掌握二次函数 y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。 （2）能力目标 ：能熟练画出二次函数的图像，并能准确说出二次函数图像的顶点、开口方向、对称轴。能根据二次函数图像，判断