向量a·b公式

1.向量加法

AB+BC=AC

a+b=(x+x'，y+y')

a+0=0+a=a

运算律：

交换律：a+b=b+a

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

2.向量减法

AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.

0的反向量为0

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

3.数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣

当λ＞0时，λa与a同方向

当λ＜0时，λa与a反方向

当λ=0时，λa=0，方向任意

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0

『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』

实数λ

向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍

数乘运算律:

结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第

Black-Scholes期权定价模型

一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件

Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：

1. 风险资产（Black-Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动，即

dSS??dt??dz。

??dt其中，dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dz，称为

标准布朗运动，?代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），?为股票价格在单位时间内的期望收益率，?则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。?和?都是已知的。

简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化?，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即?dz，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。

3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖

立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式）

例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱

ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2,

E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;

(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.

(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为的长.

2, 求线段AM6

【答案】解：方法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)．

→→→→

(1)证明：易得B1C1＝(1，0，－1)，CE＝(－1，1，－1)，于是B1C1·CE＝0，所以B1C1⊥CE. →

(2)B1C＝(1，－2，－1)，

设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，

→?B1C＝0，??·?x－2y－z＝0，则?即?消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量

?→－x＋y－z＝0，??CE＝0，?m·

为＝(－3，－2，1)．

→

由(1)，B1C1⊥

1 向量共线的条件与轴上向量坐标运算

1．e 为x 轴上的单位向量，若AB ＝－2e ，且B 点的坐标为3，则A 点的坐标和AB 中点的坐标分别为( )

A ．2,1

B ．5,4 2．已知向量a ，b

不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。

A ．k ＝1，且c 与d 同向

B ．k ＝1，且c 与d 反向

C ．k ＝－1，且c 与d 同向

D ．k ＝－1，且c 与d 反向 3．设a ，b 为不共线向量，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )

A ．AD ＝BC

B ．AD ＝2BC

C ．A

D ＝BC D ．AD ＝－2BC

4．已知a ≠0，λ∈R ，下列叙述中，正确的个数是( )

①λa ∥a ；②λa 与a 的方向相同；③||a a 是单位向量；④若|λa |＞|a |，则λ＞1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

5．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及△AB

1 【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课后知能检测 新人教B 版选修

4-5

一、选择题

1．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b ＝( )

A ．23

B ．57

C ．63

D ．83 【解析】 |a |2＝a 2＝a ·a ＝(－4)2＋32＝25，

a ·

b ＝(－4,3)·(5,6)＝－20＋18＝－2.

∴3|a |2－4a ·b ＝3×25－4×(－2)＝83.

【答案】 D

2．(2013·宿州高一检测)若a ＝(2,1)，b ＝(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的射影为

( )

A ．2 5

B ．2 C. 5

D ．10 【解析】 |a |cos θ＝|a |

a ·

b |a ||b |＝a ·b |b |＝2×3＋1×45

＝2. 【答案】 B

3．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)且(ka ＋b )⊥(a －2b )，则k ＝( )

A.43

B ．－43 C.34 D ．－34 【解析】 由题意知(ka ＋b )·(a －2b )＝0，

而ka ＋b ＝(2－k,3k －1)，a －2b ＝(－5,5)，

故－5(2－k )＋5(3k －1)

浙江省各城市暴雨强度公式表

序 所在 号 地区 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 城市 名称 杭州 临安 富阳 桐庐 建德 淳安 宁波 余姚 慈溪 鄞州 奉化 镇海 宁海 象山 暴雨强度公式 i? 57.694+53.476lgP(t?31.546)1.008TM=2a q20 232 212 214 194 202 184 256 227 233 209 241 248 262 资料年数及起止年份 选样 方法 理论 分布 48 年最大值 耿贝尔 1959-2006 36 年最大值 耿贝尔 1965-2006 45 年最大值 耿贝尔 1962-2006 34 年最大值 耿贝尔 1962-1995 45 年最大值 耿贝尔 1961-2006 45 年最大值 耿贝尔 1959-2006 43 年最大值 耿贝尔 1964-2006 42 年最大值 耿贝尔 1965-2006 36 年最大值 耿贝尔 1966-2006 39 年最大值 耿贝尔 1961-2006 45 年最大值 耿贝尔 1962-2006 46 年最大值 耿贝尔 1958-2006 48 年最大值 耿贝尔 1957-2006 i?7.846? 6.1

课时分层作业(二十) 用平面向量坐标

表示向量共线条件

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是( )

A ．a ＝(－2,4)，b ＝(0,3)

B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)

C ．a ＝(2，－1)，b ＝(3,7)

D ．a ＝(4，－2)，b ＝(－8,4)

D [对于D 选项b ＝－2a ，即a ∥b ，故a 与b 不能作为平面内所有向量的一组基底．]

2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )

A ．－2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0

C [由a ∥b ?m 2＝1×2?m ＝2或m ＝－ 2.]

3．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )

A ．－13

B ．9

C ．－9

D ．13 C [设C (6，y )，∵AB →∥AC →，

又AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)，

∴－8×(y ＋6)－3×8＝0，∴y ＝－9.]

4．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝? ????12，1＋sin θ，且a

从平面向量到空间向量学案

第一节 ：从平面向量到空间向量

设计人：陈维江 审核人：席静

上课时间： 班级： 姓名：

学习目标：1、理解空间向量的概念；

2、掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；

3、掌握两个空间向量的夹角、空间向量的方向向量和平面的法向量的概念。

学习重点：理解两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念 学习难点：理解共面向量的概念

新课学习：

看课本25-26页回答下列问题：

从平面向量到空间向量学案

做27页练习 总结：本节概念较多，多看课本，理解概念是关键。 课后作业：

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

知识改变命运 百度提升自我

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考

向量 打开几何问题的一把金钥匙

（浙江台州黄岩灵石中学 318024） 童华青

向量是具有几何形式和代数形式的一套优良运算通性的数学体系。它既能体现“形”的直观的位置特征，又具有“数”的抽象与严谨的运算性质，本身就是一个数形结合的产物，是数形结合与转换的桥梁，并广泛应用于生产实践和科学研究中。向量的应用是一种新的思想方法，新的探索问题的途径，通过向量可以展示一种新的思维能力和创新意识。

记得本人在读高中时早已有了向量的概念，只是在复数中出现，并没有在解题中充分发挥它的优势，而每年高考都有几何题目——平面的和立体的。解此类题目时需要有很强的分析能力、抽象的空间想象能力和逻辑推理能力。这三点往往都是学生的薄弱点，解答时并不容易，得分率自然也不高。

英国数学教育家麦耐斯（Manells）和都恩（Dunn）在回顾他们国家近100年来数学课程目标的发展时指出“逻辑推理能力虽然仍占一席之地，但不再享有以前那样被夸张其词的重要性”。而我国近几年在教改盛风的吹拂下，高中数学有了很大的变化。教学大纲的改革和制定很明确，目标是“在学生的能力之内发展他们的数学技能和理解能力，以满足今后成