高中数学函数专题

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 。

?练习：已知函数f(x)的定义域是??1,2? ，求函数f??log1?3?x?? 的定义域。

??2??例2：已知函数f?log3x?的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 练习：定义在?3,8?上的函数f(x)的值域为??2,2?，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。

例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. ② R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .

例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.

练习： 1. f(x)的定义域为(0,??)，对任意正

深圳第二实验学校高二数学竞赛专题讲义

高斯函数(1) [知识点金]

1. 有关概念

对于任意实数x,?x?为不超过x的最大整数,,y??x?称为取整函数或叫高斯函数,并将y??x??x??x?称为小数部分函数,表示x的小数部分.

2. 重要性质

(1) y??x?的定义域是R,值域为Z; (2) 如果x?R,n?Z,则有?n?x??n??x?; (3) 对任意x?R,有?x??x??x??1,x?1??x??x; (4) 当x?y时,有?x???y?,即y??x?是不减函数; (5) 对于x,y?R,有?x???y???x?y???x???y??1; (6) 如果n?N?,x?R,则?nx??n?x?; ?x???x??(7) 如果n?N,x?R,则?????.

nn?????3. 常用方法

(1) 定义法 (2) 讨论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法

[例题精析]

例1 求方程3

例2 解方程 8?3x??5?2x??3.

例3 求方程lgx??lgx??2?0的实数根的个数.

22x???10?3x?1???32x???10?3x?1??82??80的解的个数

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 函数概念与基本初等函数

考纲导读 （一）函数

1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.

2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数

1．了解指数函数模型的实际背景。

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4．知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3．知道对数函数是一类重要的函数模型.

4．了解指数函数 与对数函数 互为反函

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数f(x)?134x?ax?b(a,b?R)在x?2处取得的极小值是?. 33(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若x?[?4,3]时，有f(x)?m?m?210恒成立，求实数m的取值范围. 3

2

2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 3

10x(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数?(x)?5x2?5x?1(x?R)，函数y?f(x)的图象与?(x)的图象关于点

1(0,)中心对称。 2（1）求函数y?f(x)的解析式；

（2）如果g1(x)?f(x)，gn(x)?f[gn?1(x)](n?N,n?2)，试求出使g

专题1 函数 (理科)

一、考点回顾

1.理解函数的概念，了解映射的概念.

2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析

考点一：函数的性质与图象

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

3．培养学生用运动变

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数f(x)?134x?ax?b(a,b?R)在x?2处取得的极小值是?. 33(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若x?[?4,3]时，有f(x)?m?m?210恒成立，求实数m的取值范围. 3

2

2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 3

10x(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数?(x)?5x2?5x?1(x?R)，函数y?f(x)的图象与?(x)的图象关于点

1(0,)中心对称。 2（1）求函数y?f(x)的解析式；

（2）如果g1(x)?f(x)，gn(x)?f[gn?1(x)](n?N,n?2)，试求出使g

函数专题 基本定义

1．映射f: A?B的概念。

在理解映射概念时要注意： ⑴A中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如

（1）设f:M?N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是

； M中所在元素的象的集合（答：A）

（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；

（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，； A到B的函数有 个（答：81,64,81）

（4）设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N满足条件“对任意的x?M，x?f(x)是奇数”，这样的映射f有____个（答：12）；

（5）设f:x?x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A?B一定是_____（答：?或{1}）.

2．函数f: A?B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个

函数专题 基本定义

1．映射f: A?B的概念。

在理解映射概念时要注意： ⑴A中元素必须都有象且唯一；

⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如

（1）设f:M?N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；

（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；

（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，

A到B的函数有 个（答：81,64,81）；

（4）设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N满足条件“对任意的x?M，x?f(x)是奇数”，这样的映射f有____个（答：12）；

（5）设f:x?x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A?B一定是_____（答：?或{1}）.

2．函数f: A?B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个

函数专题 基本定义

1．映射f: A?B的概念。

在理解映射概念时要注意： ⑴A中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如

（1）设f:M?N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是

； M中所在元素的象的集合（答：A）

（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；

（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，； A到B的函数有 个（答：81,64,81）

（4）设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N满足条件“对任意的x?M，x?f(x)是奇数”，这样的映射f有____个（答：12）；

（5）设f:x?x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A?B一定是_____（答：?或{1}）.

2．函数f: A?B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个

函数专题 基本定义

1．映射f: A?B的概念。

在理解映射概念时要注意： ⑴A中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如

（1）设f:M?N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是

； M中所在元素的象的集合（答：A）

（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；

（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，； A到B的函数有 个（答：81,64,81）

（4）设集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N满足条件“对任意的x?M，x?f(x)是奇数”，这样的映射f有____个（答：12）；

（5）设f:x?x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A?B一定是_____（答：?或{1}）.

2．函数f: A?B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个