幂函数与函数的应用
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幂函数及函数应用(讲义)
1
幂函数及函数应用(讲义)
? 知识点睛
一、幂函数
1. 定义:一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数.
2. 函数图象及图象性质
(1)在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ,y =x 2,y =x 3
,12
y x =,1y x -=的图象:
(2)图象性质
(3)幂函数图象的画法
第一步:根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势.
①当1α>时,函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势,比如y =x 2; ②当01α<<时,函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势,比如
1
2
y x =;
③当0α<时,函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势,比如1y x -=. 第二步:根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况.
2
① 当m n
α=(m ,n ∈N *,且互质)时: 若m ,n 均为奇数,则函数y x α=是奇函数,其图象关于原点对称; 若m 为偶数,n 为奇数,则函数y x α=是偶函数,其图象关于y 轴对称; 若m 为奇数,n 为偶数,则函数y x α=是非奇非偶函数,只在第一象限内有图象.
② 当m n
α=-(m ,n ∈N *,且互质)时: 若m ,n 均为奇数,则函数y x α=是奇函数,其图象关于原点对称; 若m 为偶数,n 为奇数,则函数y x α=是偶函数,其图象关于y 轴对称; 若m 为奇数,n 为偶数,则函数y x α=是非奇非偶函数,只在第一象限内有图象.
3. 幂函数
幂函数与指数函数的区别
一.指数函数
1.y=a^x:
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。
(4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5) 函数总是通过(0,1)这点。
(6) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
二.对数与对数函数
(一)对数: 1.零和负数没有对数 2.三个对数恒等式
3.三个运算法则:(在a>0,a≠1的前提下)
1
(1) (2) (3)
4.两个换底公式
同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0,a≠1,M>0的前提下: (1) (2)
练习:1.解出下列的x 2.求下列函数的定义域:
(2)log3(x-1)=log9(x+5).
3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求4.求值:(1)
(二)对数函数的性质及应用
。 (2)
2
练习:
1. 若logm3.5>logn3.5(m,n>0,且m≠1,n≠1),试比较m ,n的大小。
(-x2+2x+3)的值域和单调区间。
2. 求函数y=
3.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。
(1)若函数f(x)的定义域为
函数的应用(含幂函数)最经典资料
三人行数理化特训数学教研中心 数学■高中 内部使用 外传必究教学地点:园南村居委会二楼 主讲:陈文飞 电话:13875223389
函数的应用(含幂函数)
[基础训练A组]
一、选择题
1 若y?x,y?(),y?4x,y?x?1,y?(x?1),y?x,y?a(a?1)
212x252x上述函数是幂函数的个数是( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
2 已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的( )
A 函数f(x)在(1,2)或?2,3?内有零点 B 函数f(x)在(3,5)内无零点
C 函数f(x)在(2,5)内有零点 D 函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
3 若a?0,b?0,ab?1,log1a?ln2,则logab与log1a的关系是( )
22A logab?log B loglog 1aab?1a22C logab?log D loglog 1aab?1a224 求函数f(x)?2x3?3x?1零点的个数为 ( ) A
函数的应用(含幂函数)最经典资料
三人行数理化特训数学教研中心 数学■高中 内部使用 外传必究教学地点:园南村居委会二楼 主讲:陈文飞 电话:13875223389
函数的应用(含幂函数)
[基础训练A组]
一、选择题
1 若y?x,y?(),y?4x,y?x?1,y?(x?1),y?x,y?a(a?1)
212x252x上述函数是幂函数的个数是( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
2 已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的( )
A 函数f(x)在(1,2)或?2,3?内有零点 B 函数f(x)在(3,5)内无零点
C 函数f(x)在(2,5)内有零点 D 函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
3 若a?0,b?0,ab?1,log1a?ln2,则logab与log1a的关系是( )
22A logab?log B loglog 1aab?1a22C logab?log D loglog 1aab?1a224 求函数f(x)?2x3?3x?1零点的个数为 ( ) A
幂函数的性质,函数综合
教学过程: 一、幂函数
1.幂函数的定义
⑴一般地,形如y x (x R)的函数称为幂函数,其中x是自变量, 是常数; ⑵y x,y x,y x等都是幂函数,在中学里我们只研究 为有理数的情形; ⑶幂函数与一、二次函数,正、反比例函数及指、对数函数一样,都是基本初等函数. 2.幂函数的图像
2
13
14
x
12
x 1
⑵归纳幂函数的性质: ① 当 0时:
ⅰ)图象都过 0,0 , 1,1 点。
ⅱ)在第一象限内图象逐渐上升,都是增函数,且 越大,上升速度越快。 ⅲ)当 1时,图象下凸;当0 1时,图象上凸。
② 当 0时: ⅰ)图象都过 1,1 点。
ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数,且 越小,下降速度越快。 思考1:如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象? 思考2:如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象? 例题讲解:
[键入文字] [键入文字]
14
[键入文字]
例1 写出下列函数的定义域和奇偶性
(1)y x (2)y x (3)y x 3 (4)y x 2
例2 比较下列各组中两个值的大小: (1)2,3 ;(2)3.14与
1
6
164
34
34
;(3)( 0.88)与( 0.89).
34
34
23
34
32
38
5353
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
(一)指数与指数函数
1.根式
(1)根式的概念
(2).两个重要公式
①??
??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ;
②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:0,,1)m
n a a m n N n *=>∈>、且;
②正数的负分数指数幂: 1
0,,1)m
n m
n a a m n N n a -*==>∈>、且
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。
(2)有理数指数幂的性质
①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );
②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );
③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.
3.指数函数的图象与性质
n 为奇数 n 为偶数
2
注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之
7 二次函数与幂函数
7.二次函数与幂函数
二次函数见【附录】 1.幂函数的概念 一般地,形如 的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数. 2.常用幂函数的图像与性质
1.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是(
)
2.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)=( )
4ac-b2bb
A.- B.- C.c
2aa4a
3.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( ) A.[1,+∞] B.[0,2] C.[1,2] D.(-∞,2]
3
4.已知点M ,3 在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的表达式为( )
3
A.f(x)=x B.f(x)=x
2
-2
1
C.f(x)=x2 D.f(x)=x2
-
1
1
5.设α∈ -1,1,23 ,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
【例1】 (2014年浙江七校模拟)如图
幂函数的性质与图象
幂函数的性质与图象
上海大学附属中学 钱寒静
【教学材料】高中一年级第一学期数学4.1《幂函数的性质与图像》 【教材分析】
幂函数、指、对函数是最基本、最常用的函数模型,是学习其它函数的基础。学生在初中已经学过了正比例、反比例、一次和二次函数,学过指数和幂的知识,本节课是在初中知识的基础上对形如y?xk(的函数进行系统、全面的探究,这既有利于 k为常数,k?Q)学生对函数概念的理解,又对今后学习其它函数提供了方法,从而提高学生的数学应用能力。 【学情分析】
学生在初中已经接触过函数,学习过有关幂的运算性质,并具有一定的列表、画图的能力,授课的班级为上海市示范性高中的学生,他们的数学基础扎实。 【教学目标】 知识与技能:
1、 知道幂函数的概念,理解幂函数当k>0时在第一象限内的图象特征; 2、 类比让学生发现当k<0时,幂函数在第一象限内的图象特征; 3、掌握幂函数当k变化时的图象特征; 过程能力与方法:
在教学中充分发挥学生的主体作用,让他们经历幂函数性质发现的全过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察反思,最终自己得到幂函数的所有性质。
情感、态度与价值观:
让学生认识到幂函数图象的奇特魅力,体会数学的对称美与和谐美,增强学生科学严谨的学习态度,最终深刻理解到量变引起质变的哲学道理。 【重点
幂函数、函数与方程、方程与零点
幂函数、函数与方程、方程与零点
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幂函数、函数与方程、方程与零点
教学设计方案XueDa PPTS Learning Center
定 义 域 值域 奇偶性 单调性 定点 归纳: 归纳:当 α > 0 是,幂函数 y = x α 图象过点 (1,1), ( 0 , 0 ) ,且在第一象限随 x 的增大而上升,函 数在区间 [0,+∞ ) 上是单调增函数 y = x 1 y = x 2 y = x 3-
y= x
1 2
y= x
-
1 3
图 象 定 义 域 值域 奇偶 性 单 调 性 定点 归纳: 归纳: α < 0 时幂函数 y = x α 的图象过点 (1,1) ,且在第一象限随 x 的增大而下降,函数在
区间 (0,+∞) 上是单调减函数,且向右无限接近 X 轴,向上无限接近 Y 轴。 汇总:幂函数性质归纳. 汇总:幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) )所有的幂函数在( , ∞ 都有定义,并且图象都过点( , ) ; 幂函数的图象通过原点, 上是增函数. (2) α > 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,+∞) 上是增函数. ) 特别地, 幂函数的图象下凸;
幂函数教案
2.3 幂函数
教学分析
一、 教学目标:
1、掌握幂函数的概念;熟悉α=1,2,3,?,
-1时的1幂函数的图象和性质;能利用幂函数的性质 解决实际问题。
2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论,
培养学生的发现问题,解决问题的力。
二、教学重难点:
重点:幂函数的定义,图象与性质。
难点:幂函数的图象与性质。
三、教学准备:
1 教师:将幂函数y?x,y?x,y?x,y?x2,y?x图象提前画
在小黑板上。
23?1四、教学导图:
情境引入 函数的概念幂 课堂练习 画出α=1,2,3,?,-1图象
师生交流归纳出五个具体幂函数的性质
课堂练习 例题分析 课堂小结 课后作业 教学设计
一、 教学过程:
(一)教学内容:幂函数概念的引入。
设计意图:从学生熟悉的背景出