高等数学中偏导数在哪一节

【090201】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】

?z?x2?y2【试题内容】求曲线?上的点(1,6,37)处的切线的斜率。

?y?6【试题答案及评分标准】

k?zxx?1y?6?2xx?1?2

10分

【090202】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】

?x3?y3?xy?2设f(x,y)??x?y2??0【试题答案及评分标准】 解：lim

?x?0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)，根据偏导数定义求fx(0,0),fy(0,0)。

f(0??x,0)?f(0,0)??x?lim??1 ?x?0?x?xfx(0,0)??1

5分

?y?0limf(0,0??y)?f(0,0)??y?lim??1 ?y?0?y?y

10分

fy(0,0)??1

【090203】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】

?x2?2y2?【试题内容】设f(x,y)??x?y??0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)，根据偏导数定义求

fx(0,0),fy(0,0)。

【试题答案及评分标准】

?x

【090601】【选择题】【较易0.3】【几何应用】【切线 法平面 切平面 法线】 【试题内容】曲线x?2sint,y?4cost,z?t在点(2,0,)处的法平面方程是

?2?? (B) 2x?z??4 22??(C) 4y?z?? (D) 4y?z?

22(A) 2x?z?4? 答（

【试题答案及评分标准】C 10分 【090602】【选择题】【较易0.3】【几何应用】【切线 法平面 切平面 法线】 【试题内容】曲线x?t,y?4t,z?t2在点(4,8,16)处的法平面方程为

(A) x?y?8z??132 (B) x?y?8z?140

(C) x-y+8z=124 (D) x?y?8z?116

答（ 【试题答案及评分标准】B 10分 【090603】【选择题】【较易0.3】【几何应用】【切线 法平面 切平面 法线】 【试题内容】曲线4x?y,y?(A)

5）

）

z,在点(8,

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

两个重要极限

第一个重要极限：lim

推论：lim

第二个重要极限：lim(1 )x e

x

sinx

1

x 0x

tanxarcsinxarctanx 1，lim 1，lim 1

x 0x 0x 0xxx

1

x

1其他形式：lim(1 n e,n n

推论：lim

lim 1 x e

x 0

1x

loga(1 x)1ln(1 x)

lim 1

x 0x 0xlnax

ax 1ex 1lim lna lim 1 x 0x 0xx

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

等价无穷小

当x 1时，lnx x 1（这个等价无穷小很有用。） 证明：lnx ln[1 (x 1)] x 1（ x 1 0）

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

导 数

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

高阶导数

函数f(x)在点x0注 如果函数f(x)在点x0处的二阶可导，则函数f(x)在点x0的某个邻域内必须有连续的导数

f (x)。

两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

uv

n

k n k k

Cnuv k 0

n

或

(uv)

(n)

n(n 1)...(n k 1)(n k)(k)

v

k!k 0

n

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

求导法则和方法

高等数学教案 第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。

5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数；

6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：

1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1 导数概念 一、引例

2 导数与微分

【目的要求】

1、了解导数的概念，了解可导与连续的关系，了解导数的几何意义及物理意义，记忆基本初等函数的导数公式；

2、熟练运用导数的四则运算法则及复合函数法则计算导数，会使用隐函数求导法及取对数求导法计算导数，会计算二阶导数；

3、了解微分的概念，掌握微分与导数的关系，会计算函数的微分，知道微分的应用； 4、能在计算机上进行导数及微分的计算。

【练习题】 一 单项选择题

⒈设f(x)在x=a处可导,则limf(a?nh)?f(a?mh)h?0h=( D )

A.f?(a) B. mf?(a) C. nf?(a) D.(m+n)f?(a) ⒉设f(x)=(x+1)(x+2)…(x+50),则f?(?1)=( C )

A.50!

B.-50!

C.49!

D.-49!

⒊设f(x)在x0的某邻域内二阶可导,且f?(x0)?0,则f??(x0)?0是f(x0)为极小值的( B A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

⒋设y=(sinx)x,则f?(x)=( C )

A.(cosx)x B.(sinx)x C. (sinx)x

(lnsinx+xcotx)

D. (s

2 导数与微分

【目的要求】

1、了解导数的概念，了解可导与连续的关系，了解导数的几何意义及物理意义，记忆基本初等函数的导数公式；

2、熟练运用导数的四则运算法则及复合函数法则计算导数，会使用隐函数求导法及取对数求导法计算导数，会计算二阶导数；

3、了解微分的概念，掌握微分与导数的关系，会计算函数的微分，知道微分的应用； 4、能在计算机上进行导数及微分的计算。

【练习题】 一 单项选择题

⒈设f(x)在x=a处可导,则limf(a?nh)?f(a?mh)h?0h=( D )

A.f?(a) B. mf?(a) C. nf?(a) D.(m+n)f?(a) ⒉设f(x)=(x+1)(x+2)…(x+50),则f?(?1)=( C )

A.50!

B.-50!

C.49!

D.-49!

⒊设f(x)在x0的某邻域内二阶可导,且f?(x0)?0,则f??(x0)?0是f(x0)为极小值的( B A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

⒋设y=(sinx)x,则f?(x)=( C )

A.(cosx)x B.(sinx)x C. (sinx)x

(lnsinx+xcotx)

D. (s

编号：

《高等数学（一）》课 程 自 学 辅 导 材 料 配套教材： 《高等数学（一）微积分》 主 编： 章学诚 出 版 社： 武汉大学出版社 版 次： 2004年版 适应层次： 本 科 内 部 使 用 2012年9月 ●●●●●

目 录 第一部分 自学指导 第1章：函数及其图形…………………………………………………………………3 第2章：极限和连续……………………………………………………………………3 第3章：一元函数的导数和微分………………………………………………………3 第4章：微分中值定理和导数的应用…………………………………………………3 第5章：一元函数积分学………………………………………………………………3 第6章：多元函数微积分………………………………………………………………3 第二部分 复习思考题 一．单选题 ……………………………………………………………………………4 二．填空题 ……………………………………………………………………………24 三．计算题 ………………………

一、基本导数公式：

1. kx '

k

2. x

n ' nxn 1

3. ax '

ax

lna4. ex '

e

x

5. log'

1

ax

xlna6. lnx '

1x

7. sinx '

cosx8. cosx '

sinx9. tanx ' sec2

x

10. cot '

csc2

x

11. secx '

secxtanx12. cscx '

cscxcotx13.

arcsinx '

1

14.

arccosx '

115. arctanx '

11 x2

16. arccot '

11 x2

二、基本微分公式：

1.d kx k

2.d xn nxn 1dx3.d ax axlnadx4.d ex exdx5.d lnx 1

xdx

6.d log1

ax xlna

dx

7.d sinx cosxdx8.d cosx sinxdx9.d tanx sec2

xdx

10.d cotx csc2xdx11.d secx secxtanxdx12.d cscx cscxcotxdx13.d

arcsinx

1

dx

14.d arccosx 1

dx

15.d arctanx 1

1 x

2

dx16.d arccotx 1

1 x

2

dx- 1 -

08070141常用导数和积分公式

导数公式：

? (1) (C)?0 ? (3) (sinx)?cosx

???1?(x)??x (2)

? (4) (cosx)??sinx

(5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

(9)

(ax)??axlna (log1 (11)

ax)??xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

(cotx)???csc2x (cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2(arccotx)???11?x2

(6)

(8) (10) (12)

(14)

(16)

08070141常用导数和积分公式

基本积分表

?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx

大学高等数学

定义 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么 存在 正数N ,使 小),总 ),总 得对 n > N 时的 于 一切xn , 都成立, 不等式 xn a < ε都成立 那末 , 就称常 a是数列 数

xn的极限,或者称数列xn收敛于a,记为 的极限,lim xn = a,n→∞

或xn → a (n → ∞).

如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的

大学高等数学

数列极限的几何意义 ε > 0, N ,

使得 N 项以后的所有项

x N +1 , x N + 2 , x N + 3 , 都落在a点的ε邻域

(a ε , a + ε )内

因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点

2ε

a ε x 2 x1 x N + 1

a+ε

a

x N + 2 x3

x

注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法

大学高等数学

1. 定义:不论它多么小), 定义 1 如果对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在着正数 X , 使得对于适合不等式 x > X 的一切

x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A <