平面上点集的凸包问题

凸包问题

摘要：凸包问题是计算机几何中的一个经典问题，它要求将平面内的点集用最少的凸点将所有的顶点封闭。凸包问题的应用十分广泛，很多最优化问题经过抽象后可以发现它最终是凸包问题模型；它还可以用于人际关系网络的最小化搜索， 通过人际关系，可以合理推断出某人的身份，职位等个人特征。目前求取凸包的常用算法有：穷举法，格雷厄姆扫描法（Graham），分治法，蛮力法和Jarris 步进法。其中穷举法与蛮力法都是建立在穷举的算法思想上，它们的时间复杂度比较大，格雷厄姆扫描法采用几何方面的知识，降低了求解过程的时间复杂度。 关键词： 凸包问题 ；计算机几何 ；格雷厄姆扫描法

一、引言

凸包问题的完整描述：令S 是平面上的一个点集，封闭S 中所有顶点的最小凸多边形，称为S 的凸包，表示为CH（S）。如下图一所示，由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。

图一

凸包问题是计算机几何的一个经典问题，它可以解决很多优化模型，目前目前求取凸包的常用算法有：穷举法，格雷厄姆扫描法（Graham），分治法，蛮力法和Jarris 步进法。本文主要讨论穷举法，蛮力法，以及格雷厄姆

在对凸壳算法进行研究的基础上,对现有的凸壳算法进行改进,并将其应运于凸壳地质体建模中,实现了凸壳地质体模型的建立和储量的计算,通过实验证明该算法能准确、有效地进行凸壳地质体的精细建模和储量计算。

信f f f息科学

关于离散点集的三维凸包的研究吕志强司明

(西安科技大学计算机科学与技术学院，陕西西安 70 5 ) 10 4摘要：在对凸壳算法进行研究的基础上，对现有的凸壳算法进行改进，并将其应运于凸壳地质体建模中，实现了凸壳地质体模型的建立和储量的计算，实验证明该算法能准确、通过有效地进行凸壳地质体的精细建模和储量计算。 关键词：凸壳：地质体建模；算法引言凸壳 t .e u) ovxH l。 1

也称最小凸包，是包含集合s中所有对象的最小凸集。凸包的构造涉及两个问题 B凸包上的点的选取 P和这些点的连接关系的建立。由给定的点集求取凸 包是计算几何学中基本、 常见的问题姻常可以分为二维凸包和三缩二

豳l执雠墼 I井点中

整个凸壳的顶点，并能汁算出凸壳的最小体积。算法的流程图如图 1所示。 1法的具锌 2算涉骤步骤 I读取空间离散点集的数据，:对空间点按x坐标的升序进行排鼠如果x坐标相等， Y按坐标的升序进删 E如果Y序，坐标也相等，则再按 z 图 2凸包的

2009年9月

第23卷第3期总77期北京联合大学学报(自然科学版)

JournalofBeijingUnionUniversity(NaturalSciences)Sep.2009

Vol.23No.3SumNo.77

GIS中散乱点集凸包的快速算法及编程

李军辉,李紫阳

1

2

(1.东南大学交通学院,南京 210096;2.沈阳军区某部司令部,沈阳 110000)

[摘 要] 在地理信息系统(GIS)中,(。通过研究了传统凸包算法,并对其进行改进,提出简单快速的点集凸包改进算法。经过验证,新算法可准确快速地求出点集凸包。[关键词] GIS;凸包;算法;编程

[中图分类号] P208 [文献标识码] A [文章编号] 1005-0310(2009)03-0032-03

AQuickAlgorithmandProgrammingtoDetermineConvexHull

forPlanarScatteredPointSetinGIS

LIJun-hui,LIZ-iyang

1

2

(1.TransportationCollege,SoutheastUniversity,Nanjing 210096,China;

2.ShenyangMilitaryRegionComma

81fc22a3580216fc710afd12 中小学个性化辅导

1

第10章 坐标平面上的直线

考情分析

81fc22a3580216fc710afd12 中小学个性化辅导

2 考点解读

1．直线方程的几种形式

2．倾斜角与斜率

（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，把x 轴绕直线L 与x 轴的交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所

转的最小正角．当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为

0，故倾斜角的范围是),0[π．

（2）斜率：不是2

π的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k tan α=．（90o 的倾斜角的斜率不存在；即：2π

α→时k →∞）．

（3）求直线斜率的方法

①定义法：已知直线的倾斜角为α，且2π

α≠，则斜率k tan α=．

②公式法：已知直线过两点),(111y x P 、),(222y x P ，且21x x ≠，则斜率1

212x x y y k --=．

81fc22a3580216fc710afd12 中小学个性化辅导 3 ③方向向量法：若(,)m n α=u r 为直线的方向向量，则直线的斜率m

n k =．

（4）求直线倾斜角的方法

直线斜率k 不存在，倾斜角 90=α；当21x x ≠时，直线斜率存在，且 0()0arct

第四节 凸函数

函数f定义在Rn的子集S上，值域为实数或者??.集合

{(x,?)|?x?S,??R,??f(x)}

称为f的上图，记为epi f.如果epi f 为R的子集上的凸集，我们称f为凸函数.S上的凹函数就是凸函数的反面.S上的仿射函数就是具有确定的凸性或者凹性的函数.

S上凸函数的有效定义域是f上图到R的投影，我们记为dom f ，即

dom f={x|??,(x,?)?epif}={x|f(x)???}.

这是一个R上的凸集，因为它是凸集epi f在线性变化下的像.它的维数叫做f的维数.一般地，f的凸性就取决于dom f到f的约束条件，所有的兴趣就集中在这个约束条件上，S本身没起多大的作用.

很显然，为什么我们只考虑有确定有效定义域C的凸函数是有很重要的原因的.两个处理方法可以使用.一个方法是仅仅关注不含??的函数，从而使S与dom f相符合（随着f的不同而不同）.当然，也可以关注所有Rn上的函数，因为S上的凸函数可以通过补充定义f（x）=??（当x?S），可以扩张成为Rn上的凸函数.

第二个处理方法将在本书中阐明.此后，除非特别声明，我们认为凸函数就是指定义在全体实值Rn（包括无穷大）上的凸函数.

然而，这个方法会牵涉到

第7章 函数的凸性·曲线的曲率

内容摘要 ①凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。 例如，曲线y?x(图1)在Oy轴左边是向下弯曲的(称为上凸)， 而在Oy轴右边是向上弯曲的(称为下凸)。虽然说“弯曲方向” 或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数 理论在其它数学分支中也是很有用的。

从图2中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(弦) 3y y?x3 O x 图1 AB的中点C在弧AB的上方；而从图3中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)AB的中点C在弧AB的下方。

A y C A D x O x1 (x1+x2 )/2 x2

图2

B y D C B x O x1 (x1+x2)/2 图3

根据上面几何上的启示，我们引入下面的定义： 称连续函数f(x)在区间(a,b)内为下凸(上凸)函数，假若对于(a,b)内任意两点x1和x2，都有 f?f(x1)?f(x2)?x1?x2??(x1?x2) (※) ?(?)2?2?【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸

Orlicz空间的K-凸性

© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.77cn.com.cn

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习 题 三

3.1 试建立下述LP问题的对偶关系表，并写出其对偶问题： （1）max z=4x1+3x2+6x3

s.t.

?3x1?x2?x3?60?2x?2x?3x?40?123 ?2x?2x?x?623?1??x1?0,x2?0,x3?0?3x1?x2?x3?2?x?x?x??1?123 ?x?2x?x?123?1??x1?0,x2?0,x3?0?2x1?x2?4x3?2?x?x?2x?1?123 ?3x?x?x?3?123??x1?0,x2?0,x3?0?x1?2x2?4x3?10??2x1?5x2?3x3?15 ?x?0,x?0,x?023?1（2）min w=60x1+10x2+20x3

s.t.

（3）min w=5x1-3x2

s.t.

（4）max z=4x1+3x2+6x3

s.t.

3.2 试写出下述LP问题的对偶问题：

（1）1.1（1）题 （2）1.5题 （3）2.4（5）题 （4）2.4（7）题 （5）min w=2x1+2x2+4x3

s.t.

?2x1?3x2?5x3?2?3x?x?7x?3?123 ?x?4x?6x?523?1??x2?0,x3?0?3x1?4x2?4x3?7x4?21?2x?7x?3

1 对于刚接触到FLUENT新手来说，面对铺天盖地的学习资料和令人难读的FLUENT help，如何学习才能在最短的时间内入门并掌握基本学习方法呢？ 2 CFD计算中涉及到的流体及流动的基本概念和术语：理想流体和粘性流体；牛顿流体和非牛顿流体；可压缩流体和不可压缩流体；层流和湍流；定常流动和非定常流动；亚音速与超音速流动；热传导和扩散等。 3 在数值模拟过程中，如何对控制方程进行离散？如何对计算区域进行离散化？离散化的目的是什么？离散化时通常使用哪些网格？离散化常用的方法有哪些？它们有什么不同？

4 常见离散格式的性能的对比（稳定性、精度和经济性）。

5 在利用有限体积法建立离散方程时，必须遵守哪几个基本原则？

6 流场数值计算的目的是什么？主要方法有哪些？其基本思路是什么？各自的适用范围是什么？

7可压缩流动和不可压缩流动，在数值解法上各有何特点？为何不可压缩流动在求解时反而比可压缩流动有更多的困难？

8 什么叫边界条件？有何物理意义？它与初始条件有什么关系？ 9 在一个物理问题的多个边界上，如何协调各边界上的不同边界条件？在边界条件的组合问题上，有什么原则？

10 在数值计算中，偏微分方程的双曲型方程、椭圆型方程、抛物型方程有什么区别？

18.1 确定平面上物体的位置

〖教学目标〗 （－）知识目标

1．明确确定位置的必要性． 2．掌握确定位置的基本方法． （二）能力目标

1．通过丰富多彩，形式多样的确定位置的方式，使学生感受丰富的确定位置的现实背景． （三）情感目标

1．让学生主动地参与观察、操作与活动．

2．让学生能把思考的结果用语言很好地表达出来，同时要让学生很好地交流和合作． 〖教学重点〗

1．在现实情境中感受确定物体位置的多种方式、方法． 2．比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置． 〖教学难点〗

比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置． 〖教学方法〗 〖教学过程〗 一、课前布置

自学：阅读课本P128~P130，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）. 二、师生互动

［师］生活中我们常常需要确定物体的位置．如，确定学校、家庭的位置，确定地图上城市的位置，在棋盘上确定棋子的位置，在海战中确定舰艇的位置??，本节课我们就来研究为什么要确定位置，掌握确定位置的一些基本方法． 1.一起交流课本P128 的“一起探究”

用游戏的方法让学生来亲自感受确定座位需要两个数据. 2.在电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？为什么？ ［生］一般需要两个数据，一个是几