导数研究函数的单调性学案
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函数的单调性与导数导学案
2014-2015学年度第一学期南阳五中高二数学导学案(文)
§4.1.1导数与函数的单调性
学习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
学习过程
一、课前准备(预习教材,找出疑惑之处) 复习1:以前,我们用定义来判断函数的单调性。 对于任意的两个自变量x1,x2∈I,
当x1<x2时,都有f(x1)?f(x2),那么函数f(x)在区间I上单调递增。 当x1<x2时,都有f(x1)?f(x2),那么函数f(x)在区间I上单调递减。 复习2: C'?0;(xn)'?nxn?1;(sinx)'?cosx;(cosx)'??sinx;(lnx)'?1; x(logax)'?复习3:
1;(ex)'?ex;(ax)'?axlna; xlna[f(x)?g(x)]'?f?(x)?g?(x)f(x)f?(x)g(x)?g?(x)f(x)[]??g(x)g2(x)[f(x)g(x)]'?f?(x)g(x)?g?(x)f(x)
二、新课导学
探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系:
问题:我们知道,曲线y?f(x)在点x0的切线的斜率就是函数y?f(x)在该点的导数f?(x0)。从函数y?x?4x?3的图
函数的单调性与导数3
1.3.1 函数的单调性与导数
6.已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的 单调增区间;(2)若f(x)在定义域 R内单调递增,求a的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0] 上单调递减,在[0,+∞)上单调递增? 若存在,求出a值;若不存在,说明理 解析:f′(x)=ex-a. 由. (1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立, 即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna. ∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
(2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立
∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0. (3)解法一由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立. ∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立. ∵ex在(-∞,0]上为增函数.
∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1. 解法二由题意知,x=0为f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.
例4:方程根的问题1 求证:方
函数单调性学案
2.1.3函数的单调性(学案)
开封二十五中学 唐红星 一、三维目标
(一)、知识与技能
1、理解函数单调性的概念,会根据函数的图像判断函数的单调性; 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 (二)、过程与方法
通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力。 (三)情感态度与价值观
通过问题链的引入,激发学生学习数学的兴趣,锻炼克服困难的意志,激励学习数学的自信心。
二、教学重点
领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念。
三、教学难点
利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。
四、教学过程
(一)创设情景,引入新课
引例1、为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学小组研究了2002年到2007
年每年这一天的天气情况,如图是北京市2007年8月8日一天24小时内气温随时间的变化曲线图:
请回答下列问题:
1.当天的最高(最低)气温出现的时刻 ? 2.在某时刻的温度? 3.什么时段温度持续升高(降低)?
引例2、画出函数 y=x,
1.3.1函数的单调性与导数
3.3数导研在究函中的数用应3.3.1函数单调性与导 数
v 观察、一P2: h h2t( ) 49.t 2 6 5t. 1 0h (' t) .9t 8 65.
0a
bt
0 a t 运b动从起员跳最高到点,以及从最点高入水到 两这时间的段运动态状什有区别?么1()运动从员跳到最高点,起离面水的度高h随时间的增t加而 加增即,h(t是增函)数。应地,v相t() h '(t ) 0 .2)(最高点到入从水运,员动离水面的高h随时度间t增加的而减小 ,h即()是t减数。函应地,v(t相) h (t') 0.
思考:这种况是情否有一具性呢般?
y
y xy
y x2
xO
xO
y
y x3
y
y 1xx
OxO
y函数单调加增f ( x>0)
f(x) 0
=数函单减调少f ( x<) 0 f x)<( f0f x)(<0 ( x)<0f ( x)<0
f (x)>0f x()>0f (x)0>0x
Ox
数单函性的判调定定:一理地般函,的单数性调与其导数的函正有如负下系关:
某在区间(个 a b,内 如)果f ´x) > 0,(函数则在个这间区
函数单调性学案
2.1.3函数的单调性(学案)
开封二十五中学 唐红星 一、三维目标
(一)、知识与技能
1、理解函数单调性的概念,会根据函数的图像判断函数的单调性; 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 (二)、过程与方法
通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力。 (三)情感态度与价值观
通过问题链的引入,激发学生学习数学的兴趣,锻炼克服困难的意志,激励学习数学的自信心。
二、教学重点
领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念。
三、教学难点
利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。
四、教学过程
(一)创设情景,引入新课
引例1、为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学小组研究了2002年到2007
年每年这一天的天气情况,如图是北京市2007年8月8日一天24小时内气温随时间的变化曲线图:
请回答下列问题:
1.当天的最高(最低)气温出现的时刻 ? 2.在某时刻的温度? 3.什么时段温度持续升高(降低)?
引例2、画出函数 y=x,
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
利用导数判断函数的单调性
日照实验高中2007级数学导学案---导数
利用导数判断函数的单调性
证法一:(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=
1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2
教师备课 学习笔记
∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0
∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴
x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二:(用导数方法证) ∵f′(x)=(
1 在(0,+∞)上是减函数. x
1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x
∴x2>0,∴-
例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
利用导数判断函数的单调性
日照实验高中2007级数学导学案---导数
利用导数判断函数的单调性
证法一:(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=
1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2
教师备课 学习笔记
∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0
∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴
x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二:(用导数方法证) ∵f′(x)=(
1 在(0,+∞)上是减函数. x
1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x
∴x2>0,∴-
例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<
《函数的单调性与导数》评课稿
《函数的单调性与导数》评课稿
恩平一中 谭青华
本节课郑凯老师运用多种教学手段,创设了丰富、生动的教学情境,设计了新颖、活泼的学生活动。成功的地激发了学生的学习兴趣。下面我谈谈我的几点看法:
一、 教学目标
本节课的教学目标简明扼要、具体,便于实施,便于检测,注重数学思想、能力的培养、兼顾情感态度与价值观的教育。广度和深度都符合数学课程标准和教材的要求,符合学生的实际情况。教师准备的也比较充分,清楚的知道学生应该理解什么、掌握什么、学会什么。本堂课很好的完成了预定的教学目标。
二、 教学内容
执教者因材施教,充分考虑到该班学生的实际情况,把本节课分为两个课时进行。教学内容紧紧围绕教学目标展开。准确的确定了本节课的教学重、难点:探究函数的单调性与导数的关系,并在处理时,分为三个层次进行,层层递进,化难为易。学生易于理解、掌握。很好的处理了新旧知识的结合点,抓住知识的生长点,讲授具有启发性,层次详略得当。对于课后作业的布置分必做题、选做题、思考题。很好的照顾到了不同知识水平的学生,鼓励学生不断努力、挑战自我,体现了分层教学思想。
三、 教学方法
教师本堂课主要采用启发式、探究式的教学方法,并对学生进行学法的指导。使学生积极思维、主动学习、自主学习,从而达到会学
函数的单调性说课稿
函数的单调性说课稿
发布:佚名 时间:2008-12-23 10:37:00 来源:京翰教育中心 录入:行者 人气:4566
【文字:大 小】
函数的单调性说课稿
一、教学内容的分析
1.教材的地位和作用
首先,从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段,第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识;第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义,从数和形两个方面理解单调性的概念;第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习,既是初中学习的延续和深化,又为高三的学习奠定基础.
其次,从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质,也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样,都是研究自变量变化时,函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识,都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段,即都从图象观察,以函数解析式为依据,经历用符号语言刻画图形语言,用定量分析解释定性结果的过程.因此,函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
最后,从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其
导数与函数的单调性、极值和最值
导数与函数极值和最值
1.函数的单调性与导数
2.函数的极值 (1)函数的极值的概念:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点 叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做 极小值 函数y=f(x)的________.
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大,
f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点 做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做 函数y=f(x)的________.极小值点、极 极大值 极值点 大值点统称为________,极大值和极小 极值 值统称为_______.
(2)求函数极值的步骤: ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根; ③检查方程根左右两侧值的符号,如果
左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值 _______,如果左负右正,那么f(x)在这
个根处取___