导数研究函数的单调性学案

2014-2015学年度第一学期南阳五中高二数学导学案（文）

§4.1.1导数与函数的单调性

学习目标

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法

学习过程

一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处） 复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性。 对于任意的两个自变量x1，x2∈I，

当x1＜x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么函数f(x)在区间I上单调递增。 当x1＜x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么函数f(x)在区间I上单调递减。 复习2： C'?0；(xn)'?nxn?1；(sinx)'?cosx；(cosx)'??sinx；(lnx)'?1； x(logax)'?复习3：

1；(ex)'?ex；(ax)'?axlna； xlna[f(x)?g(x)]'?f?(x)?g?(x)f(x)f?(x)g(x)?g?(x)f(x)[]??g(x)g2(x)[f(x)g(x)]'?f?(x)g(x)?g?(x)f(x)

二、新课导学

探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：

问题：我们知道，曲线y?f(x)在点x0的切线的斜率就是函数y?f(x)在该点的导数f?(x0)。从函数y?x?4x?3的图

1.3.1 函数的单调性与导数

6.已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的 单调增区间；(2)若f(x)在定义域 R内单调递增，求a的取值范围； (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0] 上单调递减，在[0,+∞)上单调递增？ 若存在，求出a值；若不存在，说明理 解析：f′(x)=ex-a. 由. (1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立， 即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna. ∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).

(2)∵f(x)在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立

∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0. (3)解法一由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立. ∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立. ∵ex在(-∞,0]上为增函数.

∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1. 解法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.

例4:方程根的问题1 求证：方

2.1.3函数的单调性（学案）

开封二十五中学 唐红星 一、三维目标

（一）、知识与技能

1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 （二）、过程与方法

通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 （三）情感态度与价值观

通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，锻炼克服困难的意志，激励学习数学的自信心。

二、教学重点

领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。

三、教学难点

利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。

四、教学过程

（一）创设情景，引入新课

引例1、为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学小组研究了2002年到2007

年每年这一天的天气情况,如图是北京市2007年8月8日一天24小时内气温随时间的变化曲线图:

请回答下列问题：

1.当天的最高(最低)气温出现的时刻 ？ 2.在某时刻的温度？ 3.什么时段温度持续升高(降低)？

引例2、画出函数 y=x,

3.3数导研在究函中的数用应3.3.1函数单调性与导 数

v 观察、一P2: h h2t( ) 49.t 2 6 5t. 1 0h (' t) .9t 8 65.

0a

bt

0 a t 运b动从起员跳最高到点，以及从最点高入水到 两这时间的段运动态状什有区别？么1()运动从员跳到最高点，起离面水的度高h随时间的增t加而 加增即，h(t是增函)数。应地，v相t() h '(t ) 0 .2)(最高点到入从水运，员动离水面的高h随时度间t增加的而减小 ，h即()是t减数。函应地，v(t相) h (t') 0.

思考：这种况是情否有一具性呢般？

y

y xy

y x2

xO

xO

y

y x3

y

y 1xx

OxO

y函数单调加增f ( x>0)

f(x) 0

=数函单减调少f ( x<) 0 f x)<( f0f x)(<0 ( x)<0f ( x)<0

f (x)>0f x()>0f (x)0>0x

Ox

数单函性的判调定定：一理地般函，的单数性调与其导数的函正有如负下系关：

某在区间(个 a b,内 如)果f ´x) > 0,(函数则在个这间区

2.1.3函数的单调性（学案）

开封二十五中学 唐红星 一、三维目标

（一）、知识与技能

1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 （二）、过程与方法

通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 （三）情感态度与价值观

通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，锻炼克服困难的意志，激励学习数学的自信心。

二、教学重点

领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。

三、教学难点

利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。

四、教学过程

（一）创设情景，引入新课

引例1、为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学小组研究了2002年到2007

年每年这一天的天气情况,如图是北京市2007年8月8日一天24小时内气温随时间的变化曲线图:

请回答下列问题：

1.当天的最高(最低)气温出现的时刻 ？ 2.在某时刻的温度？ 3.什么时段温度持续升高(降低)？

引例2、画出函数 y=x,

利用导数判断函数的单调性

日照实验高中2007级数学导学案---导数

利用导数判断函数的单调性

证法一：(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=

1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2

教师备课 学习笔记

∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0

∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴

x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二：(用导数方法证) ∵f′(x)=(

1 在(0,+∞)上是减函数. x

1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x

∴x2>0,∴-

例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解：y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<

利用导数判断函数的单调性

日照实验高中2007级数学导学案---导数

利用导数判断函数的单调性

证法一：(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=

1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2

教师备课 学习笔记

∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0

∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴

x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二：(用导数方法证) ∵f′(x)=(

1 在(0,+∞)上是减函数. x

1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x

∴x2>0,∴-

例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解：y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<

《函数的单调性与导数》评课稿

恩平一中 谭青华

本节课郑凯老师运用多种教学手段，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、活泼的学生活动。成功的地激发了学生的学习兴趣。下面我谈谈我的几点看法：

一、 教学目标

本节课的教学目标简明扼要、具体，便于实施，便于检测，注重数学思想、能力的培养、兼顾情感态度与价值观的教育。广度和深度都符合数学课程标准和教材的要求，符合学生的实际情况。教师准备的也比较充分，清楚的知道学生应该理解什么、掌握什么、学会什么。本堂课很好的完成了预定的教学目标。

二、 教学内容

执教者因材施教，充分考虑到该班学生的实际情况，把本节课分为两个课时进行。教学内容紧紧围绕教学目标展开。准确的确定了本节课的教学重、难点：探究函数的单调性与导数的关系，并在处理时，分为三个层次进行，层层递进，化难为易。学生易于理解、掌握。很好的处理了新旧知识的结合点，抓住知识的生长点，讲授具有启发性，层次详略得当。对于课后作业的布置分必做题、选做题、思考题。很好的照顾到了不同知识水平的学生，鼓励学生不断努力、挑战自我，体现了分层教学思想。

三、 教学方法

教师本堂课主要采用启发式、探究式的教学方法，并对学生进行学法的指导。使学生积极思维、主动学习、自主学习，从而达到会学

函数的单调性说课稿

发布:佚名 时间:2008-12-23 10:37:00 来源:京翰教育中心 录入:行者 人气:4566

【文字：大 小】

函数的单调性说课稿

一、教学内容的分析

1．教材的地位和作用

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其

导数与函数极值和最值

1.函数的单调性与导数

2.函数的极值 (1)函数的极值的概念：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点 叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做 极小值 函数y=f(x)的________.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大，

f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点 做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做 函数y=f(x)的________.极小值点、极 极大值 极值点 大值点统称为________,极大值和极小 极值 值统称为_______.

(2)求函数极值的步骤： ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根； ③检查方程根左右两侧值的符号，如果

左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值 _______,如果左负右正，那么f(x)在这

个根处取___