数值计算期末试题

第一套

一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：

?x1?x2?x3??4??5x1?4x2?3x3??12?2x?x?x?11123?

二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= —2,y?(0)=1, y?(1)=—4

三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分：

9?

1xdx n=4

四、（10分）证明对任意参数t，下列龙格－库塔方法是二阶的。

h?yn?1?yn?(k3?k2)?2?k1?f(xn,yn)??k2?f(xn?th,yn?thk1)??k3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hk1

五、（14分）用牛顿法构造求c公式，并利用牛顿法求115。保留有效数字五位。

?1a0?

?a1a????0a1?? 试就AX=B建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并六、（10分）方程组AX=B 其中A=?

讨论a取何值时

迭代收斂。

2f(x)dx?Af(?a)?Bf{0}?Cf(a)?七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式 有尽可能多的

?2代数精确度。并求该公式的代数

………………………线………………………订…………………装…………………… 号学…… 封名…姓… ）…级…班…（…业…专… 密别…系……………………中山大学南方学院期末考试试卷

（2013级电软系各专业2015～2016学年度第1学期）

课程名称数值计算与Matlab A 卷 考试形式开卷考核类型考查 本试卷共一大题，卷面满分100分。

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核人

得分

得分 评卷人 一、上机题目（请完成下面的上机题目，按照要求 完成。共100 分）

题目一、给出某地一月内温度的测定值（内含平均温度、最低、最高温度），并求其平均温度、最低、最高温度的平均值、标准差等。（参考下表) 周口四月份每天的温度报表 温 平均温度 最高温度最低温度度 （℃） （℃） （℃） 日期 1 10.2 19 8 2 14.3 19 10 3 13.0 19 9 4 15.8 19 12 5 9.7 15 7 6 8.0 16 4 7 15.2 20 8 8 14.8 20 7 9 10.3 17 7 10 12.1 19 7 11 14.7 22 9 12 15

数值计算方法试题一

一、填空题（每空1分，共17分）

31、如果用二分法求方程x?x?4?0在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2x?x??(x?2)局部收敛的充分条件是?取值在（ ）k?1kk2、迭代格式。 ?x30?x?1?S(x)??1(x?1)3?a(x?1)2?b(x?1)?c1?x?3??23、已知是三次样条函数，则

a=( )，b=（ ），c=（ ）。

4、l0(x),l1(x),?,ln(x)是以整数点x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

?lk?0nk(x)?( )，k?0?xlnkj(xk)?( )，当n?2时k?0?(xn4k2?xk?3)lk(x)?( )。

7425、设f(x)?6x?2x?3x?1和节点xk?k/2,k?0,1,2,?,则f[x0,x1,?,xn]? 7?和f0? 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

????(x)k?0是区间[0,1]上权函数?(x)?x的最高项系数为7、k1的正交多项

第5章 MATLAB数值计算

MATLAB的数学计算＝数值计算＋符号计算

其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。

注：数值计算有误差。数值计算受到计算机所保留的有效位数的限制，因此每一次运算都会有一定的误差，重复的多次数值计算就可能会造成很大的累积误差。

5.1 矩阵和数组

MATLAB最基本也是最重要的功能就是进行实数或复数矩阵的运算。

矩阵和数组的概念

在MATLAB的运算中，经常要使用标量、向量、矩阵和数组，这几个名称的定义如下： ? 标量：是指1×1的矩阵，即为只含一个数的矩阵。 ? 向量：是指1×n或n×1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。

? 矩阵：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，0×0矩阵为空矩阵([])。

? 数组：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。

5.1.1矩阵输入（前已讲“向量的输入”，相同！）

(1) 矩阵元素应用方括号([])括住；

(2) 每行内的元素间用逗号或空格隔开； (3) 行与行之间用分号或回车键隔开； (4) 元素可以是数值或表达式。

1. 通过显式元素列表输入矩阵

c=[1 2;3 4;5 3*2]

《数值计算方法》

邹昌文编

2009年10月

上机实验指导书

“数值计算方法”上机实验指导书

实验一 误差分析

实验1.1（病态问题）

实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式

p(x) (x 1)(x 2) (x 20) (x k)

k 120

(1.1)

显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

p(x) x19 0

(1.2)

其中 是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中x19的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB函数：“roots”和“poly”。

u roots(a)

其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为

FLUENT计算两相流相关问题：

通常把含有大量固体或液体颗粒的气体或液体流动称为两相流；

两相流的研究：对两相流的研究有两种不同的观点：一是把流体作为连续介质而把颗粒群作为离散体系；而另一是除了把流体作为连续介质外，还把颗粒群当作拟连续介质或拟流体。

引入两种坐标系：即拉格朗日坐标和欧拉坐标，以变形前的初始坐标为自变量称为拉格朗日Langrangian坐标或物质坐标；以变形后瞬时坐标为自变量称为欧拉Eulerian坐标或空间坐标。 离散相模型

FLUENT在求解连续相的输运方程的同时，在拉格朗日坐标下模拟流场中离散相的第二相；

离散相模型解决的问题：煤粉燃烧、颗粒分离、喷雾干燥、液体燃料的燃烧等； 应用范围：FLUENT中的离散相模型假定第二相体积分数一般说来要小于10-12%（但颗粒质量承载率可以大于10-12%，即可模拟离散相质量流率等大于连续相的流动）；不适用于模拟在连续相中无限期悬浮的颗粒流问题，包括：搅拌釜、流化床等；

颗粒颗粒之间的相互作用、颗粒体积分数对连续相的影响未考虑； 湍流中颗粒处理的两种模型：

Stochastic Tracking，应用随机方法来考虑瞬时湍流速度对颗粒轨道的影响； Cloud Tracking，运用统

数值考试答案电气1351

数学答案

一、判断题2.错3.对4.对5.对6.错.7错8.错9.错

二、填空题;

1、误差的来源即产生误差的原因。主要有四种：

1.模型误差;2.观测误差;3.截断误差(方法误差)-;4.舍入误差.

2.设 (x)在x (x)的根x附近连续，且有 (x) 1，则迭代格式xk 1 (xk)在根x

附近具有局部收敛性。

3.拉格朗日插值多项式的基函数和被插函数无关。 4. 拉格朗日插值多项式为p(x)

x x0x x1

y0 y1。

x0 x1x1 x0

b aa b

[f(a) 4f() f(b)]。 62

5数值积分的抛物公式是I＝

b

a

f(x)dx

6构造插值求积公式的步骤为：（1）、在[a,b]上选节点xk；（2）、求f(xk)：利用

Ak Ik(x)dx和解关于Ak的线性方程组求出Ak，得到 f9x)dx Akf(xk)；

a

a

k 0

bb

n

（3）、用f(x) x

n 1

, ，验证精度。

7 牛顿——柯斯特求积公式是等距节点的插值求积公式，其插值求积公式为

b

a

f(x)dx Akf(xk)。

k 0

n

8. 高斯型求积公式讨论的就是最高次代数精度的求积公式。

9. 预报——校正公式得局部截断误差y(xn 1) yn 1 O(h)。 10.若局

一． 数值积分

数学上已经证明

?1041?x2dx??

成立，所以可以通过数值积分来计算?的近似值。

（1） 分别采用复化梯形公式、复化Simpson公式计算?的近似值。 选

择不同的步长h，对每种复化求积公式试将误差刻画成h的函数，并比较各方法的精度（做出误差与步长的对数函数图，横坐标是步长对数，纵坐标是绝对误差对数，两种应该是直线关系，其斜率就是方法的收敛阶 ）。另外，考虑是否存在某个h值，当低于这个值之后再继续减小h的值，计算不再有所改进？为什么？

（2） 实现Romberg求积方法，并重复上面的计算。

二、常微分方程初值问题数值计算

给定初值问题

其精确为

，

（1）分别按下列方案求它在节点

值解跟精确解是否吻合，考虑方法收敛阶是否跟理论吻合）。 方案I: 欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1； 方案II: 改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1； 方案III: 四阶标准龙格—库塔法、步长h = 0.1。

处的数值解及误

差。比较各方法的优缺，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图， 考虑数

（2）对于自变量 1

精通MATLAB语言，有MATLAB编程问题的朋友，请直接联系我！ 联系方式： QQ：993878382

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MATLAB博客：/46036333_d.html

如果我QQ不在线，可以将问题发到我的邮箱，或者在我的MATLAB博客留言，第一时间答复你！简单问题请直接留言，复杂问题可以提供解决思路！同探讨，共进步！

还可以为公司和科研单位设计各类算法，欢迎前来咨询！

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Matlab与化工数值计算第一讲简介与基本数学运算隋志军化工学院软件应用教科组联系方式：zhjsui@ 64252169实验16楼605室

化学工程师的任务工厂运行系统特性过程设计数学模型反应特征过程特性设备特性工艺开发数学模型

化学工程专业数学模型类型非线性方程(组)1 f= 4.0 0.4 lg(Re gen f 1 n ' 2 ) 1.2 n' 0.75 n'

常微分方程(组)

f" '+ ff"+β (1 ( f ' ) 2 )= 0偏微分方程(组) u1 2 u1= 0.024 2 F (u1 u 2 ) t x

非线性模型，难以获得解析解，必须采用数值解法模型的数值解法

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