一元二次函数根的分布问题

一元二次方程根的分布专题

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个不等实根为x1，x2

????b2??①方程有两个不等正根 x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0②方程两根一正一负 ：x1?0?x2，则ca?0

????b2??③方程有两个不等负根：x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0即时应用：

(1)若一元二次方程(m?1)x?2(m?1)x?m?0有两个不等正根，求m

2(2)k在何范围内取值，一元二次方程kx?3kx?k?3?0有一

2ax bx c 0根的分布情况 一元二次方程

设方程ax bx c 0 a 0 的不等两根为x1,x2且x1 x2，相应的二次函数为f x ax2 bx c 0，

2

方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

需满足的条件是

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m,n 外，即在区间两侧x1 m,x2 n，（图形分别如下）

f m 0 f m 0

（1）a 0时， ； （2）a 0时，

f n 0 f n 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在 m,n 内有以下特殊情况：

1 若f m 0或f n 0，则此时f m f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，

可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n 内，从而可以求出参数的值。如方程mx m 2 x 2 0

2

在区间 1,3 上有一根，因为f 1 0，所以mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一根为得

22

，由1 3mm

2

m 2即为所求； 3

2 方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n

一元二次方程的公共根与整数根

知识点睛

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b2?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ ??b2?4ac为完全平方数；

⑵ ?b?b2?4ac?2ak或?b?b2?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

例题精讲

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求k的值，使得一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，并求两个方程的根．

?ABC【例2】

一元二次方程的公共根与整数根

知识点睛

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b2?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：

⑴ ??b2?4ac为完全平方数；

⑵ ?b?b2?4ac?2ak或?b?b2?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．

例题精讲

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求k的值，使得一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，并求两个方程的根．

?ABC【例2】

一元二次函数综合练习题

1、二次函数y ax2

bx c(a 0)的图象如图所示，对称轴是直线x 1，则下列四个结论错误．．的是A．c 0 B．2a b 0 C．b2 4ac 0 D．a b c 0

2、已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，有以下结论：①a b c 0；②a b c 1；③

abc 0；④4a 2b c 0；⑤c a 1其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

第2题 第3题 第4题

3、二次函数y ax2

bx c(a 0)的图象如图，下列判断错误的是（ ） A．a 0

B．b 0 C．c 0

D．b2 4ac 0

4、二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A．a＜0 B．c＞0 C．b2 4ac＞0 D．a b c＞0

5、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高

与水平的距离

，则该运动员的成绩是( )

A. 6m B. 10m C. 8m D. 12m

课题：2.5.2二次函数与一元二次方程

教学目标：

1．复习巩固用函数y＝ax+bx+c的图象求方程ax+bx+c＝0的解．

222．让学生体验一元二次方程ax+bx+c =h的根就是二次函数y=ax+bx+c 与直线y=h（h是

2实数）图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax+bx+c =h的近似根．

3．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想. 教学重点与难点：

重点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程. 难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算. 教学过程：

一、复习回顾，开辟道路

二次函数y=ax+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax+bx+c=0的根有什么关系?

2

2

22

1．若方程ax+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点坐标是 .

2．抛物线y=0.5x-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D

《<二次函数与一元二次方程>第一课时》说课稿

付家堰中小学 刘家付

各位领导、专家：

大家好！我今天的说课内容是人教版九年级上册第22章第二节《二次函数与一元二次方程》的第一课时的教学内容，现就我对本节课的教学安排和教学思路向各位领导和专家汇报如下： 一、教材分析

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。 二、学情分析

1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。

2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。

3、心理上，老师应抓住一元二次方程的求解方法很多，在学习了因式分解法、配方法、求根公式法等的基

北京市西城区(南区)2011——2012

1． 抛物线y＝－2x2－x＋1的顶点在第_____象限( )

A．一 B．二 C．三 D．四 2． 如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )

A．6 B．8 C．10 D．

12

2

4． 用配方法解方程x 2x 5 0时，原方程应变形为

A．(x 1)2 6 B．(x 2)2 9 C．(x 1)2 6 D．(x 2)2 9 6． 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为

x，则下面所列方程中正确的是( ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289

7． 如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴

影部分的面积为( ) A．17 B．32

D．80

8． 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象

被⊙P的弦AB的长为a的值是 A．

B．2

C．

D．212．二次函数y ax2 bx c的图象的一部分如图所

北京市西城区(南区)2011——2012

1． 抛物线y＝－2x2－x＋1的顶点在第_____象限( )

A．一 B．二 C．三 D．四 2． 如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )

A．6 B．8 C．10 D．

12

2

4． 用配方法解方程x 2x 5 0时，原方程应变形为

A．(x 1)2 6 B．(x 2)2 9 C．(x 1)2 6 D．(x 2)2 9 6． 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为

x，则下面所列方程中正确的是( ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289

7． 如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴

影部分的面积为( ) A．17 B．32

D．80

8． 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象

被⊙P的弦AB的长为a的值是 A．

B．2

C．

D．212．二次函数y ax2 bx c的图象的一部分如图所

一元二次方程根的判别式

(第1课时)

【目标导航】

通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式．在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件．

【预习引领】

解下列一元二次方程.

(1)x2－1=0 (2)x2 －2x =－1

(3)(x+1)2－24=0 (4)x2 +2x+2=0

问题：(1)为什么会出现无解？

(2) 回顾用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的过程.

【要点梳理】

１．一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的判别式是2－4ac．

2．判别一元二次方程根的情况：

（1）当b2－4ac＞0时，___________ _____;

（2）当b2－4ac＝0时，__________________;

（3）当b2－4ac＜0时，________ _______．

例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x－4＝0；

（2）16y2＋9＝24y；

（3）5(x2+1)－7x＝0．

【课堂操练】

不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x－2=0；

（2）2y2+5=6y；

（3）4p(p－1)－3＝0；

（4）(x－2)2＋2(x－2)－8＝0；

（5

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