第一章函数极限与连续测试题

《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.1 函数

【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系

?封闭性??有序性（3）实数的性质： ?

?稠密性?连续性?2、实数的绝对值

?x,x?0（1）绝对值的定义：x??

?x,x?0?（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x?5?3，② x?1?2 3、区间

（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间

设a与b均为实数，且a?b，则

1

《高等数学》（微积分）教案

数集{xa?x?b}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b] 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的开区间，记作（

第一章 函数与极限

满分：100分 考试时间：150分钟 一、选择题(每小题2分，共40分)

1．设当x?0时，而xsinx是比（e?1）(1?cosx)ln(1?x)是比xsinx高阶的无穷小，高阶的无穷小，则正整数n为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 2．设函数f(x)?lim2nnx21?x，则下列结论成立的是（ ）

n??1?x2nA．f(x)无间断点 B．f(x)有间断点x?1 C．f(x)有间断点x?0 D．f(x)有间断点x??1 3．x?1(n?2，3，）是函数f(x)?xn?1?的（[]为取正整数）（ ） ???x?A．无穷间断点 B．跳跃间断点 C．可去间断点 D．连续点 4．设f(x)?2x?3x?2，则当x?0时（ ）

A．f(x)与x是等价无穷小量 B．f(x)与x是同阶但非等价无穷小量 C．f(x)与比x较高阶的无穷小量 D．f(x

第一章 函数·极限·连续

知识点：

?义域?函数的定义和函数的定??函数的简单性质???函数??基本初等函数??复合函数与初等函数?????简单的经济函数模型???定义?数列极限与函数极限的???函数的左、右极限????极限?无穷大量和无穷小量??极限的四则运算法则?????两个重要极限????函数连续的定义??间??函数的间断点与连续区?连续?初等函数的连续性????质 ?闭区间上连续函数的性??教学目的要求：

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。

（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；

第一章 函数、极限和连续

【考试要求】 一、函数

1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数． 2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性． 3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像． 4．掌握函数的四则运算与复合运算．

5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数． 6．了解初等函数的概念． 二、极限

1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．

2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．

3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（

x???，x???）时函数的极限．

4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理． 大量的性质，两个无穷小量阶的比较． 6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． 7．熟练掌握分段函数求极限的方法． 三、连续

xx??，

5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷

1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其

第一章 函数、极限和连续

【考试要求】 一、函数

1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数． 2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性． 3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像． 4．掌握函数的四则运算与复合运算．

5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数． 6．了解初等函数的概念． 二、极限

1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．

2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．

3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（

x???，x???）时函数的极限．

4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理． 大量的性质，两个无穷小量阶的比较． 6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． 7．熟练掌握分段函数求极限的方法． 三、连续

xx??，

5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷

1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其

第一章 函数、极限和连续性

复习要求提示：

1. 函数实质上是变量间的对应关系。函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接

的考点。但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。

函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性,单调性，周期性和有界性。

2. 极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。本章的首要任务是熟练掌握各种

极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，与后续很多章节都有和重要的联系，是常考的考点。总结起来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。 无穷大量和无穷小量的相关问题是这一部分的另一重要内容。主要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限；理解无穷大与无界的关系；极限存在的准则。

极限部分需重点掌握的内容有：极限的保号性，无穷小的等价替换

《集合与函数概念》测试题

一、选择题 1.已知集合

，

，若

，则的值是( ).

A.2 B.2或3 C.1或3 D.1或2 2.设集合A.3.已知为

( )

B.，集合

C.

D.，集合

，则图中阴影部分表示的集合

，则

( ).

A.C.4.若函数

B.

D.

，则对任意实数

，下列不等式总成立的是( ).

A. B.

C.5.设集合集合

的函数关系的有( ).

D.

，在下面4个图形中，能够表示集合

到

A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②

6.设

是定义在

上的奇函数，当

时，

，则

=( ).

A.-3 B.-1 C.1 D.3 二、填空题

7.已知：全集

＝ .

，集合，

，则

8.设

为两个非空实数集合，定义集合，则

9.设集合10．如果函数__________．

11.若集合三、解答题 12.设集合13.已知集合取值范围．

14.已知奇函数的取值范围． 15.已知函数⑴求证：⑵若

对一切是奇函数； ，用表示

. 都有

．

在定义域

上单调递减，求满足

的实数

，

，

，

，求实数的取值范围. ，若

，求实数

的

有且仅有两个子集，则实数的值是________.

，集合

在区间

，则

.

中元素的个数是 .

，若

，

上是单调递增的，则实数的取值范围是

第一篇 高 等 数 学

第一章 函数 极限 连续

第一节 函 数

一、基本知识

1．函数的概念 （1）定义 设数集D?R，则称映射f:D?R为定义在D上的函数，通常简记为 y?f(x),x?D 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df,即Df?D． 函数定义中，对于每一个x?D．按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y?f(x)．因变量y与自变量x的这种依赖关系，通常称为函数关系．函数值f(x)的全体构成集合称为函数f的值域，记作Rf或f(D)，即

Rf?f(D)??yy?f(x),x?D?． （2）函数的常用表示法 ①公式法：如y?2x?1等， ②表格法：如三角函数表、对数表等， ③图示法：如温度记录仪记录的某地某天的温度曲线；医学上常用的心电图等． （3）分段函数 定义域内由两个或两个以上数学表达式分段表示的函数叫做分段函数． 函数关系y?f(x)不一定是由一个或几个数学表达式所构成，可能是由普通语言描述的，也可能是一幅图或一张表．总之，函数关系的实质是自变量与因变量之间的“对应关系”，而与表达形式无关，对于分段函数

高等数学第一章函数与极限试题

一. 选择题

1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

（A） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数f(x)?1x,则 ex?1?1（A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点

（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.

x?113．设f(x)=x，x≠0,1,则f[f(x)]= ( )

11A） 1－x B） 1?x C） X D） x

4．下列各式正确的是 ( )

xA） lim(1+ 1=1 B） x?0?x)lim(1x=e

x?0?1+ x)x?xC） lim(1－ 1=-e D） lim(1+ 1x??x))=e

x??x 1

5．已知limx?ax??(x?a)x?9，则a?(

一选择题（每题二分，共28分） 1. 下列变化属于物理变化的是（ ）

A. 大米发生霉变 B.冰融化成水 C.木材变成木炭 D.葡萄变成美酒 2. 研究并发展化学的基本方法是（ ） B. A.计算 B.推理 C.实验 D.证明

3. 下列物质不属于有机合成材料的是（ ） 4.A.合金 B.塑料 C.合成橡胶 D.合成纤维 4. 下列变化属于化学变化的是（ ）

5. A. 用铝制容器盛醋被腐蚀 B.将记有机密信息的纸粉碎 C.夏天将西瓜榨成西瓜汁 D.记石油加热分馏得到多种石油化工产品 5. 关于实验方法的归纳错误的是（ ）

A. 玻璃容器都可以作为反应容器 B.制取气体时应先检查装置的气密性 C．取用药品一般用药匙，有些块状固体药品可用镊子夹取 D. 点燃可燃性气体前必须检验纯度 6. 下列关于“一定”和“不一定”叙述错误的是（ ）

A. 在变化中有颜色改变的不一定是化学变化 B. 在变化中有状态变化的一定是物理变化 C. 在变化中有发光、放热现象的一定是化学变化 D. 在化学变化中不一定发生物理变化 7. 下列行为中，没有违背实验室规则的是（ ）

A