二重积分坐标变换

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

第九章 重积分

教学内容

二重积分、三重积分的概念和性质，二重积分、三重积分的计算和应用。 教学目的、要求

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分中值定理。 2.熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。

3.掌握二重积分在极坐标系下的计算方法，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。

4.会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）。 重点与难点

1重点：二重积分的概念与计算。

2难点：三重积分的计算，重积分的应用。

第一节 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积

设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z f x,y (f x,y 在D上连续)且f x,y 0,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域 1, 2, , n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成n个小曲顶柱

《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________

第十一章 习题一 曲线积分与格林公式

（为了节省纸张和便于收发，请您双面打印）

一．选择题

1．设L为圆周x2?y2?1，L1为该圆周在第一象限的部分，则 （ ） （A）xds?4xds； （B）

LL1???Lyds?4?yds；

L1L1（C）

?Lx2sinyds?4?x2sinyds； （D）?x2cosyds?4?x2cosyds．

L1L22．设L为沿右半圆周x?1?y从点A(0,?1)经点B(1,0)到点C(0,1)的路径，L1为

L上从点B到点C的路径，则积分?|y|dx?y3dy等于 （ ）

L（A）0； （B）2?L1|y|dx?y3dy； （C）2?|y|dx； （D）2?y3dx．

L1L13．设G为一个平面单连通区域，P、Q在G上具有一阶连续偏导数，则积分

?L Pdy?Qdx与路径无关的充分必要条件是 （ ）

（A）

?P?Q?P?

很好的教案

第二十一章 二重积分

§1 二重积分概念

教学目的 掌握二重积分的定义和性质． 教学内容 二重积分的定义和性质．

(1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．

(2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件． 教学建议

(1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略介绍．

(2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题． 教学程序

一、平面图形的面积

（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念

直线网T分割平面图形P，T的网眼中小闭矩形 i的分类： （ⅰ） i含的全是P的内点,

（ⅱ） i含的全是P的外点（不含P的点）, （ⅲ） i内含有P的边界点, 记sP T 为T的第ⅰ类 i的面积的和． 记SP T 为T的第ⅰ和第三类 i的面积的和． 记IP=记IP=

sup sP T T，称为P的内面积．

inf SP T T，称为P的外面积．

定义1 若平面图形P的内面积IP等于它的外面积IP，则称P为可求面积，并称其共同值IP=IP=IP为P的面积（约当，黎曼测度）

第九章 重积分

第一节 二重积分的概 念与性质1、二重积分的概念 2、二重积分的性质

一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面

D

侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱 面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想:“大化小,常代变,近似和,求极限”

机动

目录

上页

下页

返回

结束

1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域

1, 2 , , n

以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f ( k , k ) 小曲顶柱体 ( k , k ) 2)“常代变” 在每个

D k

中任取一点

则

Vk f ( k , k ) k3)“近似和”n

(k 1, 2 , , n)

f ( k , k ) kk 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

4)“取极限”

( k ) max P P2 P ,P2 k 1 1令 max ( k )1 k nn

f ( k , k )( k , k ) k

V lim f ( k , k ) k 0 k 1

机动

目录

上页

下页

第九章 重积分

第一节 二重积分的概 念与性质1、二重积分的概念 2、二重积分的性质

一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面

D

侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱 面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想:“大化小,常代变,近似和,求极限”

机动

目录

上页

下页

返回

结束

1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域

1, 2 , , n

以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f ( k , k ) 小曲顶柱体 ( k , k ) 2)“常代变” 在每个

D k

中任取一点

则

Vk f ( k , k ) k3)“近似和”n

(k 1, 2 , , n)

f ( k , k ) kk 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

4)“取极限”

( k ) max P P2 P ,P2 k 1 1令 max ( k )1 k nn

f ( k , k )( k , k ) k

V lim f ( k , k ) k 0 k 1

机动

目录

上页

下页

二重积分的计算法（2）

一、利用极坐标系计算二重积分

1122

i (ri ri) i ri 221

(2ri ri) ri i2

r (r r) ri i

2

i ri i,

D

f(x,y)dxdy f(rcos ,rsin )rdrd .

D

二重积分化为二次积分的公式（１）

区域特征如图极点在区域之外 ,

1( ) r 2( ).

2( )

r ( )

f(rcos ,rsin )rdrd

d

D

1( )

f(rcos ,rsin )rdr.

区域特征如图

, 1( ) r 2( ).

r( )

f(rcos ,rsin )rdrd

D

d

2( )

1( )

f(rcos ,rsin )rdr.

二重积分化为二次积分的公式（２）

区域特征如图（极点在D的边界上） ,0 r ( ).

D

r ( )

f(rcos ,rsin )rdrd

d

D

( )

f(rcos ,rsin )rdr.

注意内下限未必全为0

区域特征如图

（极点在D的内部）

A

0 2 ,0 r ( ).

( )

D

f(rcos ,rsin )rdrd

d

02

f(rcos ,rsin )rdr.

第三节

极坐标系下二重积分 的计算法

上页

下页

返回

例1

计算 eD

x2 y2

dxdy ,其中 D 是由中心

在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.计算 1 x 2 y 2 dxdy,其中 D 是由D

例2

中心在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.

上页

下页

返回

一、将直角坐标系下的二重积分化为 极坐标系下二重积分 f ( x , y )d D|| || 0

lim

f ( , ) i 1 i i

n

i

上页

下页

返回

1 1 2 2 i ( ri ri ) i ri i 2 2 r ri ri 1 ( 2ri ri ) ri i r ri 2 ri ( ri ri ) ri i 2 ri ri i ,oD

i i i

i

x

上页

下页

返回

f ( x , y )d D

|| || 0 n

lim

f ( , ) i 1 i i i i

n

i

lim

|| || 0

f (r cos i 1

, r i sin i )ri ri

重庆三峡学院数学分析课程论文

二重积分的计算方法

院 系 数学与统计学院

专 业 数学与应用数学（师范） 姓 名 年 级 2010级 学 号

指导教师 刘学飞

2014年5月

二重积分的计算方法

(重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班)

摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

引言

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重

要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被

积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求

二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1二重积分的定义

设f?x,y?是定

用二重积分求立体的表面积

二重积分习题课例1 比较 I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与 I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小 ,D D

其中 D 由 ( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y

由重积分的性质x+y>1

I1 < I2

1

2

0

1

2

x

x + y =1

用二重积分求立体的表面积

例2 将二重积分化成二次积分 I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,

D: x + y =1 , x – y = 1,x = 0 所围 所围. ,1 y

D

先对 y 积分y =1– x

I =01

∫ dx ∫0

1

1 x

x 1

f ( x , y )d y

x

y = x –1 –1

用二重积分求立体的表面积

先对 x 积分1 y

I =x =1– yD1

∫∫ + ∫∫D1 D21 y

=1

∫ dy ∫0

1

0

f ( x , y )d x +y +1

0D2

x

+

∫

0

1

dy ∫

0

f ( x , y )d x

x = y +1 –1

用二重积分求立体的表面积

例3 将二次积分换序 I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2

∫0 dx ∫xy

a

2 ax x 2

f ( x , y )dy .

a

x = a

第二节 二重积分的计算方法

教学目的：利用直角坐标系把二重积分化为二次积分 教学重难点：将积分区域用不等式组表示 教 法:讲授 课 时:4

仅仅依靠二重积分的定义及其性质，不可能对一般的二重积分进行计算。本节介绍一种二重积分的计算方法，这种方法是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。 一、利用直角坐标系计算二重积分

我们首先来考虑直角坐标系下面积元素d?的表达形式。在二重积分的定义中对区域D的分割是任意的，极限lim?f(?i,?i)??i都存在，那么对

??0i?1n于区域进行特殊分割该极限也应该存在。因此，在直角坐标系下，我们用平行于x轴和y轴的两族直线把区域D分割成许多小区域（图10—4）。除靠区域D边界曲线的一些小区域外，其余的都是小矩形区域。当这些小区域的直径的最大者??0时，这些靠区域D边界的不规则的小区域的面积之和趋于0。因此，第i个小矩形区域??i的面积

??i??xj??yk。 因此，直角坐标系下面积元素

d??dxdy。 于是二重积分的直角坐标形式为

??f(x,y)d????f(x,y)dxdy。

DD

由二重积分的几何意义