最优化方法第二章答案

第二章最优化方法 运筹学简述

运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”。 故有人称之为最优化技术。 最优化 最优化： 指针对决策问题，按照决策的目标，从多个可能的方案中选择出最好的方案的过程。 最优化方法的主要研究对象是各种人类组织的管理问题和生产经营活动，其目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的方案，使资源的使用效益得到充分的发挥，最终达到最优目标。

运筹学的主要内容

数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态规划等） 图论 存储论 排队论 对策论

排序与统筹方法 决策分析

运筹学在工商管理中的应用

运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面： 生产计划 运输问题 人事管理 库存管理 市场营销 财务和会计

另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价，工程优化设计等。 第一节线性规划 (Linear Programming)

线性规划问题的数学模型 1. 规划问题

线性规划问题的数学模型

例1.1 如图所示，如何截取

第二章最优化方法 运筹学简述

运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案”。 故有人称之为最优化技术。 最优化 最优化： 指针对决策问题，按照决策的目标，从多个可能的方案中选择出最好的方案的过程。 最优化方法的主要研究对象是各种人类组织的管理问题和生产经营活动，其目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的方案，使资源的使用效益得到充分的发挥，最终达到最优目标。

运筹学的主要内容

数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态规划等） 图论 存储论 排队论 对策论

排序与统筹方法 决策分析

运筹学在工商管理中的应用

运筹学在工商管理中的应用涉及几个方面： 生产计划 运输问题 人事管理 库存管理 市场营销 财务和会计

另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价，工程优化设计等。 第一节线性规划 (Linear Programming)

线性规划问题的数学模型 1. 规划问题

线性规划问题的数学模型

例1.1 如图所示，如何截取

第6章 约束最优化方法

6.1

可行方向法 罚函数法 乘子法

主 要 内 容

6.2 6.3

6.4 6.5

二次规划问题 网格法

求解约束最优化问题比求解无约束最优化问题要困 难的多，因为每次迭代不仅要使目标函数值下降 (对最小化问题),同时还要考虑解的可行性问题。

求解约束非线性优化问题的方法很多。 有些是将约束非线性优化问题转化为无约束非线 性优化问题(SUMT),如罚函数法(外点法)、 障碍函数法(内点法)等， 有些是通过构造下降可行方向进行迭代，如 Zoutengijk可行方向法、Rosen梯度投影法、简约 梯度法等， 有些是将非线性优化问题转化为线性规划问题， 如线性逼近法等；还有网格法等等。

6.1 可行方向法

可行方向法是求解约束最优化问题的一类常用方法，

是无约束最优化问题下降迭代算法的自然推广。

可行方向法的典型策略是从某可行点出发，沿该点

的下降可行方向进行搜索，求出使目标函数值下降的新的可行点,

算法的主要步骤是选择搜索方向和确定沿此方向搜索的步长。

搜索方向的选择方式不同就形成不同的可行方向法。

6.1.1 可行方向法概述

6.1.2 Zoutendijk可行方向法

最优化方法习题1答案

《最优化方法》（研究生）期末考试练习题答案

二.简答题

min -5y1 9y2, s.t. 4y1 3y2 3, -2y1 y2 2, 1．

3y1 4y2 8, y1,y2 0;

x3 x4 0, （以x1为源行生成的割平面方程） 2．

注意：在x1为整数的情况下，因为x3,x4 0，该方程自然满足，这是割平面的退化情形

1

656

111

x3 x4 , （以x2为源行生成的割平面方程）

442

3．

a1 0,b1 3

1 a1 0.382(b1 a1) 0 0.382*3 1.146

1 a1 0.618(b1 a1) 0 0.618*3 1.854 ( 1) (1.146)3 2*1.146 1 0.2131 ( 1) (1.854)3 2*1.854 1 3.6648

事实上,不经计算也可以看出

( 1) ( 1)，所以a2 0,b2 1.854。

即：初始的保留区间为[0，1.854]。近似的最优解：x*

0 1.854

0.927.2

f1(x) x1e x2*( 1) 2.7 x1ex2 2.7

4．令

f2(x) x1

第七章 最优化方法简介

7.1 最优化问题—— Optimization

Minf(x)?Minf(x1,x2,?,xn)s.t.gi(x)?gi(x1,x2,?,xn)?0i?1,2,?,m

可行域： D?x?Rngi(x)?0可行点： ?x?D

问题的解：x??D——最优解； 线性规划——f(x),gi(x)?i?1,2,?,m

?i?1,2,?,m——均为线性函数，

其他一般称为：非线性规划；

其中，若f(x)为二次函数，gi(x)i?1,2,?,m为线性函数——二次规划， 其他如：几何规划、动态规划 etc.

7.2 一维优化方法

对象：Minf(x),x?[a,b]?R， 简化： f(x),x?[a,b] 为

单峰函数——

x??[a,b],f(x)?:?x?[a,x?),?f(x)?:?x?(x,b]

当f(x)在[a,b]上可导，则问题转化为求解方程f?(x)?0的问题，这是第5章所讨论的内容。

以下讨论其他方法。

7.2.1 四等分法

等分方法，或分段检验的目的主要是希望能确定解在哪部分内从而可以保留，或者说哪部分可以删去。据此，使保留部分越来越小，获得所需要的结果。

比较：二

经济预测与决策方法

第二章 专家预测法 Delphi法 主观概率法

定性预测方法

经济预测与决策方法

§1.专家预测法一、个人专家预测 ①专家本人根据本身所认识到的社会需要，自 发地从事的预测工作。 ②根据某个团体或他人的要求所作出的预测。 优点：i)不受外界因素影响 ii)简单易行，组织工作容易，无经济负担 缺点：i)容易片面 ii)无法审查正确与否

经济预测与决策方法

二、专家会议同行专家一起，通过会议形式，就某个议题一 起作预测 优点：i)收集的信息、情报、资料量大 ii)考虑问题全面 iii)全体人员共同承担责任 缺点：i)受社会因素和心理压力影响 ii)易受表达能力影响 iii)为取得一致意见而相互妥协

经济预测与决策方法

三、头脑风暴法(BS)(Brain storming)是一种会议形式。这种会议形式使参加会议的人员 能够通过互相启发、互相刺激，产生创造性设想的连锁 反应，诱发出更多的创造性设想，达到作出集体预测设 想的目的。 特点：i)人 员——来自多个领域(10~15人) ii)讨论的问题——具体而明确 iii)会议的原则——●不互相批判 ●自由鸣放 ●欢迎提出各种方案 ●取长补短

经济预测与决策方法

§2.Del

第二章 会计处理方法

教学目的与要求

通过本章教学，了解会计循环，掌 通过本章教学，了解会计循环， 会计循环 会计确认、计量、记录、 握会计确认、计量、记录、报告的基本 内容。 内容。

教学重点1、会计确认 、 2、会计计量 、 3、会计记录 、 4、会计报告 、

第一节 会计确认一、会计确认的含义与内容 1、含义：——P27 、含义： 2、内容： 、内容： (1)初次确认 ) (2)再次确认 )

二、会计确认的标准 1、可定义性 、 2、可计量性 、 3、可靠性 、 4、相关性 、

三、会计要素的具体确认 1、资产的确认 、 (1)符合资产的定义 ) (2)与该资源有关的经济利益很可能流 ) 入企业 (3)该资源的成本或者价值能够可靠地 ) 计量

2、负债的确认 、 (1)符合负债的定义 ) (2)与该义务有关的经济利益很可能流 ) 出企业 (3)未来流出的经济利益的金额能够可 ) 靠地计量

3、所有者权益的确认 、 ——取决于资产和负债的确认 取决于资产和负债的确认 4、收入的确认 、 (1)符合收入定义 ) (2)与收入相关的经济利益应当很可能流入企业 ) (3)经济利益流入企业的结果会导致企业资产的 ) 增加或者负债的减少 (4)经济利益的流入额能够

《最优化方法》复习题

一、 简述题

1、怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数2122

212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 2、写出几种迭代的收敛条件.

3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）.

见书本61页(利用单纯形表求解);

69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解);

4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点.

简述共轭梯度法的基本思想.

;

写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。

5、叙述常用优化算法的迭代公式．

（1）法的迭代公式：(1)(),().

k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--??=+-?

（2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)()n k k k k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+?=+-??=-??=+-??

．

（3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 11k k k k x x G g -+=-． （4）推导最速下降法用于问题1min ()2

T T f x x Gx b x c =++的迭代

2．1已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为?s??s0cos?的电荷，式中的?s0为常数。试求球面上的总电荷量。

zdsro?ryx

解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿r=a的球面上的积分。在球面上选择一个小的球环，面积为dsr，对应的弧长为dl?ad?，因此，

dsr?2?asin?dl?2?asin?ad?。

q???sds???s0cos?ds???s0cos?2?a2sin?d??0

ss0?2.14题，在下列条件下，对给定点求divE的值：

（1）E?[ex(2xyz?y2)?ey(x2z?2xy)?ezx2y]V/m，求点P1(2,3,?1)处divE的值。

（2）E?[e?2?z2sin2??e??z2sin2??ez2?2zsin2?]V/m， 求点P2(??2,??110?,z??1)处divE的值。 解：

???(2xyz?y2)?(x2z?2xy)?(x2y)?2yz?2x（1） ?x?y?z ?2?3?(?1)?2?2??10divE?divE?1?1??[?(2?z2sin2?)]?(?z2sin2?)?(2?2zsin2?)???????z（2） ?4z2sin2??2z2cos2

第二章 开放式光腔与高斯光束

习题

1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

?AT???C?1B?????2D????R10???1?1???0??1L??2??1???R?22L(1?L0???1?1???0?)L??1?2L?1??R2 ???222L?[?(1?)]?RRR?121??R2?2L2L2L??[?(1?)(1?)]?R1R1R2?由于是共焦腔，有

R1?R2?L

往返矩阵变为

若光线在腔内往返两次，有

T2??1T???00???1??1???00??1?可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。 2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔的稳定性条件为0

LR2

（a对平凹腔：R2=?,则g2=1,

0<1-

LR1<1，即0

???(b)对双凹腔：0

(c)对凹凸腔：R1=R1,R2=-R2,

?L??L???1?0<1???R1?R2?????<1，

R1?L且R1?|R2|???L

3．激光器的谐振腔由一面曲率半径