二次函数整点问题解题思路

二次函数压轴题解题思路

一、基本知识 1会求解析式

2.会利用函数性质和图像

3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。 二、典型例题： （一）、求解析式

1.（2014莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式； 2.（2012莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；

练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）Ay=﹣2（x+1）2+2By=﹣2（x+1）2﹣2Cy=﹣2（x﹣1）2+2Dy=﹣2（x﹣1）2﹣2 （二）、二次函数的相关应用 第一类：面积问题

例题.（2012莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y

轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x

二次函数压轴题解题思路

一、基本知识 1会求解析式

2.会利用函数性质和图像

3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。 二、典型例题： （一）、求解析式

1.（2014莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式； 2.（2012莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；

练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）Ay=﹣2（x+1）2+2By=﹣2（x+1）2﹣2Cy=﹣2（x﹣1）2+2Dy=﹣2（x﹣1）2﹣2 （二）、二次函数的相关应用 第一类：面积问题

例题.（2012莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y

轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x

二次函数典型题解题技巧

（一）有关角

21、已知抛物线y?ax?bx?c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C(0，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线

y?x?5经过D、M两点.

（1） 求此抛物线的解析式；

（2）连接AM、AC、BC，试比较?MAB和?ACB的大小，并说明你的理由.

思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是CD和x轴平行（过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D）

对于第（2）问，比较角的大小

a、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就

清楚了

b、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就

确定了

c、 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大

小

d、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全

等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等

e、 可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，

二次函数最大利润问题

最大利润问题：这类问题只需围绕一点来求解，那就是：总利润=单件商品利润*销售数量 设未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况： （1）自变量x是所涨价多少，或降价多少 （2）自变量x是最终的销售价格

例：商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件，现设一天的销售利润为y元，降价x元. （1）求按原价出售一天可得多少利润？ （2）求销售利润y与降价x的的关系式

（3）商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠，应该降价多少元？ （4）要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润. （一）涨价或降价为未知数：

例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？

变式：1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决

http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2737247

（2009益阳）如图11，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

A

F E B D G C 图11

(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF ∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，

∴∠EAF＝90°

又∵AD⊥BC

∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°

又∵AE＝AD，AF＝AD ∴AE＝AF

∴四边形AEGF是正方形

(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x ∵BD＝2，DC＝3 ∴BE＝2 ，CF＝3 ∴BG＝x－2，CG＝x－3

222

在Rt△BGC中，BG＋CG＝BC

222

∴( x

二次函数最大利润问题

最大利润问题：这类问题只需围绕一点来求解，那就是：总利润=单件商品利润*销售数量 设未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况： （1）自变量x是所涨价多少，或降价多少 （2）自变量x是最终的销售价格

例：商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件，现设一天的销售利润为y元，降价x元. （1）求按原价出售一天可得多少利润？ （2）求销售利润y与降价x的的关系式

（3）商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠，应该降价多少元？ （4）要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润. （一）涨价或降价为未知数：

例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？

变式：1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决

马到成功奥数专题:离散最值

引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手： 1.着眼于极端情形； 2.分析推理——确定最值； 3.枚举比较——确定最值； 4.估计并构造。

离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。

一、 从极端情形入手

从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。

题目1. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？

解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。

用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红

二次函数利润问题

一． 售价或涨价

1、某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100?x)件,应如何定价才能使定价利润最大？最大利润是多少元？

2、某商店经营一种小商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．

（1）设每件商品定价为x元时，销售量为y件，求出y与x的函数关系式；

（2）若设销售利润为s，写出s与x的函数关系式；

（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？

3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件。

（1）设每件衬衫降价x元，平均每天可售出y件，写出y与x的函数关系式___________________。

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

4、某商场销售一批产品零件，进价货为10元，若每件产品零件定价20元，则可售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件产

..

二次函数的最值问题

二次函数y ax2bx c ( a 0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基

础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当a0 时，

函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a0时，函数在 x b

处取得

2a4a2a 4ac b2

，无最小值．

最大值

4a

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

二次函数求最值（一般范围类）

例 1．当 2 x 2时，求函数

y x22x 3 的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当x 1时，

y min4，当 x 2 时，y max5．

例 2．当1 x 2时，求函数yx2x 1 的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当 x 1时，y min 1 ，当x 2时， y max5 ．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高

抛物线中的面积问题

提出问题:

1.中考试题 如图1，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积． 2.参考答案（1）解析式为

，D点坐标为（－1，）．

），

（2）探求得直线EF的解析式为y =x +．设K（t，

xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则 KN = yK－yN =－（t +）=

．

∴S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +

．

即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）． 面积问题是近几年中考的热点之一，常结合一次函数、二次函数、四边形、相似形等知识而命题，具有一定的综合性.在历届中考试题的解答中，一般都通过分割，建立面积函数，用函数知识解决问题．这些分割方法通常比较麻烦，有时还回避不了分类讨论．经研究发现，这些问题通常