分解因式交叉相乘法

学大教育个性化教学教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.

个性化教学辅导教案

学科 数学 任课教师： 杨平弟 授课时间：2011年8月 15日（星期一) 姓名 梁智坤 年级 初二 因式分解的方法 知识点：因式分解的几种常用方法与技巧：公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法，添项、拆项、换元、展开巧组合、主元等技巧的运用 教学 考点：因式分解的几种常用方法与技巧的综合运用 目标 能力：化简、运算能力 方法：讲练结合 难点 重点 因式分解——十字相乘法的运用 课前 检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________ 知识点梳理 1、因式分解的几种常用方法与技巧：公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法 1）、提取公因式法：常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等； 2）、公式法：常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。 3）、十字相乘法（重点） 内容：二次三项式

十字相乘法进行因式分解

【基础知识精讲】

【重点难点解析】 1．二次三项式

多项式ax?bx?c，称为字母x的二次三项式，其中ax称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，x?2x?3和x?5x?6都是关于x的二次三项式．

在多项式x2?6xy?8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．

在多项式2ab?7ab?3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2?7(ab)?3，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】

例1 把下列各式分解因式：

22（1）x?2x?15； （2）x?5xy?6y．

2222222

例2 把下列各式分解因式：

（1）2x?5x?3；（2）3x?8x?3．

22例3 把下列各式分解因式： （1）x?10x?9；

（2）7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)； （3）(a2?8a)2?22(a2?8a)?120．

点悟：（1）把x看作一整体，从而转化为关于x的二次三项式； （2

因式分解之十字相乘法专项练习题

(1) a2－7a+6； (2)8x2+6x－35；

(3)18x2－21x+5； (4) 20－9y－20y2；

(5)2x2+3x+1； (6)2y2+y－6；

(7)6x2－13x+6； (8)3a2－7a－6；

(9)6x2－11x+3； (10)4m2+8m+3；

(11)10x2－21x+2； (12)8m2－22m+15；

(13)4n2+4n－15； (14)6a2+a－35；

(15)5x2－8x－13； (16)4x2+15x+9；

(17)15x2+x－2； (18)6y2+19y+10；

(19) 2(a+b) 2+(

因式分解的五大典型分解法

因式分解之十字相乘

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例1、分解因式：x2 5x 6

在方程、不等式中的应用

例1. 已知：x2 11x 24 0，求x的取值范围。

练习：分解因式(1)x2 14x 24 (2)a2 15a 36 (3)x2 4x 5

（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2 bx c

条件：（1）a a1a2 a1 c1

（2）c c1c2 a2c2

（3）b a1c2 a2c1 b a1c2 a2c1

分解结果：ax2 bx c=(a1x c1)(a2x c2)

例2、分解因式：3x2 11x 10

练习：分解因式：（1）5x2 7x 6 （2）3x2 7x 2

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例3、分解因式：a2 8ab 128b2

练习、分解因式(1)x2 3xy 2y2(2)m2 6mn 8

第十五章整式的乘除与因式分解单元备课

一、教科书内容和课程学习目标

（一）本章知识结构框图

（二）教科书内容

本章共包括4节15.1 整式的乘法 15.2 乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。 15.3 整式的除法 15.4 因式分解

（三）课程学习目标

通过本章教学要求达到以下的教学目标：

1.使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。

2.使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。

3.使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。

4.使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。

二、本章教学建议

1.强调重要数学思想方法的渗透

2.根据数学知识的逻辑关系循序渐进安排教学内容

三、本章教学中几个值得关注的问题

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
例如:
例1把m2+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
解：因为 1 -2
1 ╳ 6
所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x2+6x-8分解因式
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
解： 因为 1 ×2 ，5 ╳ -4
所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x2-8x+15=0
分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
例如:
例1把m2+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
解：因为 1 -2
1 ╳ 6
所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x2+6x-8分解因式
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
解： 因为 1 ×2 ，5 ╳ -4
所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x2-8x+15=0
分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，

平方差公式练习题

一、选择题

1、下列多项式能用平方差公式计算的是（ ） A. (x?1)(1?x) B. (1a?b)(b?122a) C. (?a?b)(a?b) D. (x2?y)(x?y) 2、不能用平方差公式计算的是( )

A.(－a－b)(－b+a) B.(xy+z)(xy－z) C.(－2a－b)(2a+b) D.(0.5x－y)(－y－0.5x)

3、运算结果是x2?36y2的是（ ） A(?6y?x)(?6y?x) B.(?6y?x)(6y?x) C.(x?4y)(x?9y) D.(?6y?x)(6y?x) 4、(4x2

－5y)乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )

A.－4x2

－5y B.－4x2

+5y C.(4x2

－5y)2

D.(4x+5y)2

5

、

用

平方

差

公

式

计

算

(a?b?c?d)(a?b?c?d)，结果是（ ）

A.(a?b)2?(c?d)2 B.(a?c)2?(b?d)2 C.(a?d)2?(c?d)2 D.(c?b)2?(a?d)2 二、填空题

6、9

专训1 活用乘法公式进行计算的六种技巧

? 巧用乘法公式的变形求式子的值

1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值．

2．已知x＋1＝3，求x41

x＋x4的值．

? 巧用乘法公式进行简便运算 3．计算：

(1)2 0172－2 016×2 018；

(2)??1－122?111?×??1－32??×??1－42??×?×??1－92??×??1－1

102??；

(3)1002－992＋982－972＋?＋42－32＋22－12.

? 巧用乘法公式解决整除问题

4．对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)是不是10的倍数？为什么？

? 应用乘法公式巧定个位数字

5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)·?·(232＋1)＋1的个位数字．

? 巧用乘法公式解决复杂问题(换元法) ．计算20 182 0172

620 182 0162＋20 182 0182－2的值．

? 巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想) 7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再进行

第四讲 整式的乘法与因式分解

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1.了解：因式分解的定义，提公因式法. 2.掌握：幂的运算性质，整式乘法法则，乘法公式，因式分解 的方法. 3.能：运用整式乘法法则和乘法公式进行整式的乘法运算以及 用两种方法分解因式.

一、幂的运算性质

am+n 1.am·an=____(m,n都是正整数).amn 2.(am)n=___(m,n都是正整数). a nb n 3.(ab)n=____(n为正整数).

【即时应用】a7 1.计算：a4·a3=__. a6 2.计算：(a2)3=__.

-a3b6 3.计算：(-ab2)3= _____.

二、整式的乘法 相乘 相加 1.单项式与单项式相乘：把系数_____,同底数幂的指数_____. 分配律 2.单项式与多项式相乘：利用乘法对加法的_______进行计算, ma+mb+mc 即m(a+b+c)=_________. 每一项 3.多项式与多项式相乘：先用一个多项式的_______乘以另一 每一项 相加 个多项式的_______,再把所得的积_____. am bn 即(a+b)(m+n)=___+an+bm+___.

4.乘法公式 (1)平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积