随机变量正态分布的期望和方差

2012届安吉高级中学高三数学（理）计数原理与概率统计复习导学案（主备人：鲍利人 ）

10．8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

班级 姓名

一、学习目标：

1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、学习建议：

1．把握基本题型； 2．强化方法选择．

三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题） 1．某学习小组的一次数学考试成绩为： 分 数 频 数 频 率 分数×频率 95 2 96 4 97 3 98 1 填写表格的三、四两行，并求出①该学习小组这次考试的平均分；②表格的第四行的4个数据之和。 根据你的结果，解析你的发现。

知识链接1．

1．离散型随机变量的均值与方差的概念

若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离

1-7-2 随机变量分布列、期望、方差

1．在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：

学生 数学(x分) 物理(y分) A1 89 87 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93 (1)根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程； (2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．

n

?xi－x??yi－y?^^^^^i∑^－＝1附：回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx，其中x，y为样本平n∑ ?xi－x?2＝

i1

均数．

2．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序做答，竞赛规则如下：

①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；

②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．

311

已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相

共21页

11．2 离散型随机变量的期望与方差

高考试题

1．（2005年江苏）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，

9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（D）

A．9.4,0.484 B．9.4,0.016 C．9.5,0.04 D．9.5,0.016 提示：本题考查了统计数据中平均数、方差有关概念、公式及有关计算等：

7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：9.4，9.4，9.6，9.4， 9.5，则平均数为：x?s29.4?9.4?9.6?9.4?9.5522?9.46?9.5，即x?9.5，方差为：

2?15[(9.4?9.5)?(9.4?9.5)?????(9.5?9.5)]?0.016，即 s2?0.016，故

选D.

2．（2005年全国卷三）设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取?22,?3，

5252?,0,,3,22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望

Eξ= .

[答案]

47

13提示：原点到过点（0，1）且斜率为?22、2

概率论与数理统计 课件

第二节

随机变量的数学期望

一、数学期望的概念 二、数学期望的性质

概率论与数理统计 课件

通过前面的学习知道， 通过前面的学习知道，对于一个随机变量若已知它的 概率分布，就可以计算出我们要求的各种情形的概率。 概率分布，就可以计算出我们要求的各种情形的概率。 然而，在实际问题中所遇到的随机变量，其分布一般 然而，在实际问题中所遇到的随机变量， 情况下是未知的，而求出它的分布不是一件容易的事。 情况下是未知的，而求出它的分布不是一件容易的事。 在一些实际问题中，我们并不一定要知道某个随机变 在一些实际问题中， 量的分布， 量的分布，而只需要知道一些能够集中反映其分布特征和 性质的指标就可以解决问题。 性质的指标就可以解决问题。 例如, 在评价某地区粮食产量水平时, 例如, 在评价某地区粮食产量水平时, 通常只要知道该 地区粮食的平均产量; 又如, 在评论一批灯泡的质量时, 地区粮食的平均产量; 又如, 在评论一批灯泡的质量时, 既要注意其平均使用寿命, 既要注意其平均使用寿命, 又要注意灯泡寿命与平均寿命 的偏离程度. 的偏离程度.

概率论与数理统计 课件

实际上, 实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的 数字特征在理论和实践上

第三章 多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={?}，若随机变量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定义在S上，则称（X1(?),X2(?),…,Xn(?)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 17 页 共 13 页

第三章 多维随机变量及其概率分布

【内容提要】

一、二维随机变量及其分布函数

【定义】设X?X(?),Y?Y(?)是定义于随机试验E的样本空间?上的两个随机变量，则称(X,Y)

为二维随机变量，称F(x,y)?P?X(?)?x,Y(?)?y?为其联合分布函数，而称:

F1(x)?P?X(?)?x?及F2(y)?P?Y(?)?y?分别为X,Y的边缘分布函数。

二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)具有如下性质: ⑴．非负性: ?x,y?R，有0?F(x,y)?1；

⑵．规范性: ?x,y?R，有F(x,??)?F(??,y)?0,F(??,??)?1； ⑶．单调性: 当x(或y)固定不变时，F(x,y)是y(或x)的单增函数； ⑷．右连续性: ?x,y?R，有F(x?0,y?0)?F(x,y)；

⑸．相容性: ?x,y?R，有F(x,??)?F1(x),F(??,y)?F2(y)； ⑹．特殊概率: 若x1?x2,y1?y2，则

P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y

第7讲 离散型随机变量的均值与方差

【2014年高考会这样考】 1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.

抓住1个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X P (1)均值 x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 称E(X)=_____________________________为随机变量X的均 x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn

数学期望 平均水平 值或_________,它反映了离散型随机变量取值的________.抓住1个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

(2)方差

xi-E X 2pi i= 1 称D(X)= ______________为随机变量X的方差，它刻画了

n

平均偏离程度 算术平方根 随机变量X与其均值E(X)的_____________,其__________ D X ________为随机变量X的标准差.

【助学· 微博】两个防范 在记忆D(aX+b)=a2D(X)时要注意：(1)D(aX+b)≠aD(X)

+b,(2)D(aX+b)≠aD(X).三

同步练习 g3.1098 离散型随机变量的期望值和方差

1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为

A.n=4，p=0.6 B.n=6，p=0.4

C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1

2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为

A.2.44 B.3.376 3.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则

A.Eξ=3.5，Dξ=3.5

2

C.2.376

35123516D.2.4

B.Eξ=3.5，Dξ=D.Eξ=3.5，Dξ=

C.Eξ=3.5，Dξ=3.5

4.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是

A.Eξ=0.1

k

10－k

B.Dξ=0.1

kD.P（ξ=k）=C10·0.99·0.01

C.P（ξ=k）=0.01·0.99

k10－k

5.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于 A.

17 B.

16 C.

15 D.

14

6.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的