解析几何与高等数学的联系

向量代数与空间解析几何

第一部分 向量代数___线性运算

[内容要点]:

1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算.

3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.

[本部分习题]

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. A(2,?3,?5);B(0,4,3);C(0,?3,0) 2. 求点(1,?3,?2)关于点(?1,2,1)的对称点坐标. 3. 求点M(?4,3,?5)到各坐标轴的距离.

4. 一向量的起点为A(1,4,?2),终点为B(?1,5,0),求AB在x轴、y轴、z轴上的投影,并

求|AB|。

5. 已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

6． 已知a?{3,5,4},b?{?6,1,2},c?{0,?3,?4},求2a?3b?4c及其单位向量.

7．设a?3i?5j?8k,b?2i?4j?7k,c?5i?j?4k,求向量l?4a?3b?c在x轴上的投影以及在y轴上的分向量.

???????????????????????????第二部分 向量代数___向量的“积”

[内容要点]:

1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

2015级机自7班高等数学AⅢ 自测题 班级： 姓名： 学号：

第八章 向量代数与空间解析几何

自测题 A卷

一、 填空题：（第1题5分，其余每题3分，共17分） 1.已知三点A(?2,1,?1),B(1,?3,4),C(?3,?1,1),则(1)向量AB的方向余弦为____________________,单位向量为____________________.(2)向量AB在AC上的投影为_______________,AB与AC的夹角为______________.(3)以三点为顶点的三角形的面积为__________________.

(4)过C且垂直于AB的平面方程为________________________.(5)过C且平行于AB的直线方程为________________________.2.设a??{1,1,?4},b??{2,(1)(a?b?)?(a?b?0,?2},??)?_________________.

(2)(a??b?)?(a??b?)?_________________.x2y2

第七章 空间解析几何与向量代数习题

(一)选择题

1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量AB 的模是：（ A ） A ）5 B） 3 C） 6 D）9 2. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B） {-1,-1,5}. C） {1,-1,5}. D）{-1,-1,6}. 3. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求用标准基i, j, k表示向量c;(???) A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）-2i-j+5k 4. 求两平面x?2y?z?3?0和2x?y?z?5?0的夹角是：（ C ） A ） B） C） D）?

?2?4?35. 一质点在力F=3i+4j+5k的作用下，从点A（1,2,0）移动到点B(3, 2,-1)，求力F所作的功是：（ ??? ）

A ）5焦耳 B）10焦耳 C）3焦耳

第八章向量代数与空间解析几何

自测题 A卷

一、填空题：（第 1 题 5 分，其余每题3分，共 17 分）

1. 已知三点 A ( 2,1, 1), B (1, 3, 4), C (3,1,1), 则

(1) 向量 AB的方向余弦为 __________, 单位向量为 ____________________.

(2)向量AB 在 AC 上的投影为 _______________, AB 与 AC的夹角为 ______________ .

(3)以三点为顶点的三角形的面积为 __________________.

(4)过 C 且垂直于 AB 的平面方程为 ________________________.

(5)过 C 且平行于 AB 的直线方程为 ________________________.

2.设 a{1,1,4},b{2,0, 2},

(1) (a b)(a b)_________________.

(2) (a b )(a b)_________________.

3.曲面x2y 2z2

1 的名称是 __________ __________ _____ . 12516

4.曲线y x21

绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程是 ___

高等代数与解析几何复习题

第一章 矩阵

一、 填空题

1.矩阵

A与B的乘积AB有意义，则必须满足的条件是 。

? 。

2.设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,又AB?(cij)m?n，问cij3.设

A与B都是n级方阵，计算(A?B)2? , (A?B)2? ,

(A?B)(A?B)? 。

4.设矩阵A???12??,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 34?? （注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）

?20?1???T5.设X?(1,2,1),Y?(2,1,?3),A?013,计算XAY? 。

????122???6.设向量???1,2,3?,??(1,1,1)T，则??? ，??? 。 ?20?100?，则A? 。

?03?7.设矩阵A???2

基金项目：北京联合大学应用文理学院科研项目

高等代数与解析几何合并教学的思考和探索

吕书强１　马青华１　蔡春１　李小平２

１、北京联合大学应用文理学院信息科学与技术系　１００１９１２、机械工业信息研究院　１０００３７

随着高等教育改革步伐的加大和加快，对人才的培养越来越强调应用性和综合素质的提高，专业课与实践课的课时比例要增加，基础课的课时比例要减少，让学生掌握系统的基础理论知识，必然要进行教学改革，将内容联系紧密且又有重复的课程进行合并。近几年来，许多院校已将高等代数与解析几何合并成一门课，并在这门课的建设中做了大量的工作［１～３］。作为一个新生事物，它的成熟需要一个过程，它的完善需要广大师生对它进行不断探索。我们学院在这门课程的改革中取得了一些成功的经验，也有一些值得思考与探索的问题。

代数与解析几何在内容上出现了许多交叉和重复的地方，解析几何中的一些问题的解决常常用到高等代数中的一些概念、结论，但这些结论出现较晚，使高等代数与解析几何的衔接出现滞后，同时在讲授高等代数的部分理论内容时，由于几何背景贫乏，又在一定程度上造成与解析几何的脱节。因此将《高等代数》与《解析几何》这两门课程合并教学，首先不仅精简教学内容，省出许多宝贵的时间，而且能体现知识的

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. n?2时，n级的奇排列共

n !个. （ √ ） 2二、填空题

1. 排列(15342 )的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?2 的逆序数是 n(n－1) . 2. 设行列式D?aijn?n,则a11A11?a12A12?...?a1nA1n= D ，a11A51?a12A52?...?a1nA5n= 0 .

?x12323xx23. 行列式D＝的展开式中x4的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 12x?33x122x

4. 排列j1j2?j8的逆序数是9，则排列 j8j7?j1 的逆序数是 19 .

75. 设D?6232?13?2，则M11?M12?M13?M14= 240 . 41948?127?8

二、证明题

2?20?0002?000?0???0?000?2123?n?1n3. Dn??22?（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

0??2122?2222?24. Dn?223?

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. n?2时，n级的奇排列共

n !个. （ √ ） 2二、填空题

1. 排列(15342 )的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?2 的逆序数是 n(n－1) . 2. 设行列式D?aijn?n,则a11A11?a12A12?...?a1nA1n= D ，a11A51?a12A52?...?a1nA5n= 0 .

?x12323xx23. 行列式D＝的展开式中x4的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 12x?33x122x

4. 排列j1j2?j8的逆序数是9，则排列 j8j7?j1 的逆序数是 19 .

75. 设D?6232?13?2，则M11?M12?M13?M14= 240 . 41948?127?8

二、证明题

2?20?0002?000?0???0?000?2123?n?1n3. Dn??22?（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

0??2122?2222?24. Dn?223?