猎狗追兔问题数学建模

数学建模论文

《数学建模》（公选课，2014春）课程论文

《数学建模》(2014

题 目 成 员 学生1 学生2 姓 名 春)课程期末论文

题 号 A 联系电话 猎狗追兔子问题 学 号 班 级 学 院

摘要

（一） 对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于通

过建立合适的模型找到这些变量之中的不变量。

猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通的例

子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方程模型，并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。

（二） 对于问题二：学习使用matlab进行数学模型的求解，掌握常用计算机软件的使用方法。

关键词

微分方程 导数的几何意义 猎狗追兔子 数学建模 数学软件

1

《数学建模》（公选课，2014春）课程论文

一、问题重述

如图1所示，有一只猎狗在B点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m的地方O处，

此时兔子开始以8m/s的速度正向正西北方向，距离为150m的洞口A全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。

N 请回答下面的问题：

⑴ 猎狗

数学建模

饿狼追兔问题

摘要

本文研究饿狼追兔问题，是在给定狼兔相对位置，以及兔子巢穴位置的情况下求解的，狼的速度是兔子速度两倍，在不考虑其他任何因素的情况下研究狼能否追上兔子的问题。

首先，我们对问题进行了适当的分析，然后根据已知条件建立了狼的运动轨迹微分模型。

其次，根据建好的模型，运用MATLAB编程，然后仿真画出了饿狼和野兔的运动轨迹图。

再次，用解析方法将建立的模型求解，并给出该问题的结论，准确的回答题目。 最后，用数值方法求解，将所求与前面所求进行对比，也给出结论，回答题目。并将两种方法做相应比较。

结论：野兔可以安全回巢

关键词：算法 高阶常微分方程

§1.1问题的提出

在自然界中，各种生物都有它的生活规律，它们钩心斗角，各项神通，在饿狼追野

兔的工程中，饿狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之

前被狼捉住，野兔就将会成为饿狼的囊中之物；如果野兔在饿狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生还。 图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，60）的位置；红线为饿狼的运动

典型例题：猎狗追赶前方15米处的野兔。猎狗跑3步的时间野兔跑5步，猎狗跑4步的距离野兔要跑7步。猎狗至少跑出多少米才能追上野兔？

分析过程 猎狗追兔，一般都不给出具体的速度，只会告诉你猎狗跑几步的时间兔子跑几步，猎狗跑几步的距离兔子需要跑几步。通过这两个关系可以求出猎狗和兔子的速度比。

所以，我们根据其他条件，思考怎么把所求结论转化成比例关系。

设猎狗至少跑x米才能追上野兔 则兔子跑了（x-15）m

因为猎狗和兔子同时跑的，所以他们跑的时间相等，则他们的路程比与速度比相等。

所以，把所求的路程，转化成了只需要求狗和兔的速度比。

求狗和兔的速度比是每个猎狗追兔问题的关键，在这里给大家介绍三种求狗兔速度比的方法，大家可以专攻一种方法，对其他方法做简单了解。

1

2

猎狗追兔问题练习题 1.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问；兔子跑出多远将被狗追上？(280)

3

2.猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？（126）

3.在一只野兔跑出90米后 猎狗去追它 野兔

1、猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?

2、猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔子再跑多远，猎狗可以追上它？

3、一只猎狗发现在离它18米远的前方有一只狐狸在跑，马上紧追上去，猎狗跑2步的路程狐狸需跑3步，若猎狗跑5步的时间，狐狸可跑7步，猎狗跑多少米能追上狐狸？

4、一条猎狗追30米外的一只狐狸，狗跳跃一次为2米，狐狸跳跃一次为1米，而狐狸跳3次的时间，猎狗只能跳两次，猎狗跑多少米才能追上狐狸？

5、一只野兔逃出85步后猎狗才追它，野兔跑8步的路程猎狗才需要跑3步，猎狗跑4步的时间野兔能跑9步，问猎狗需要跑多少步才能追上野兔？

6、猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？

7、猎狗前面26步远处有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离。问：兔跑几步后

数学建模

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

学 期 姓 名 专 业 班 级 课程名称 数学建模 论文题目 高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题 评定指标 分值 得分 知识创新性 20 理论正确性 20 内容难易性 15 评 结合实际性 10 知识掌握程度 15 定 书写规范性 10 标 工作量 10 准总成绩 100 评语: 任课教师 时 间 09年 月 日 备 注 - 1 -

年珊珊：饿狼追兔问题

饿狼追兔模型研究

摘要：本文建立狼的运动轨迹微分模型；在各种假设的情况下，通过数形结合的直观形象

的画出兔子与狼的运动轨迹图形；采用解析方法和数值方法，研究兔子与狼的运行轨迹，编写matlab程序建立追击问题的数值模型。

关键词：饿狼追兔 数值解析 微分方程 求解

1 问题的背景

1.1 问题的背景

狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的

数学建模

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

学 期 姓 名 专 业 班 级 课程名称 数学建模 论文题目 高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题 评定指标 分值 得分 知识创新性 20 理论正确性 20 内容难易性 15 评 结合实际性 10 知识掌握程度 15 定 书写规范性 10 标 工作量 10 准总成绩 100 评语: 任课教师 时 间 09年 月 日 备 注 - 1 -

年珊珊：饿狼追兔问题

饿狼追兔模型研究

摘要：本文建立狼的运动轨迹微分模型；在各种假设的情况下，通过数形结合的直观形象

的画出兔子与狼的运动轨迹图形；采用解析方法和数值方法，研究兔子与狼的运行轨迹，编写matlab程序建立追击问题的数值模型。

关键词：饿狼追兔 数值解析 微分方程 求解

1 问题的背景

1.1 问题的背景

狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的

数学建模

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

学 期 姓 名 专 业 班 级 课程名称 数学建模 论文题目 高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题 评定指标 分值 得分 知识创新性 20 理论正确性 20 内容难易性 15 评 结合实际性 10 知识掌握程度 15 定 书写规范性 10 标 工作量 10 准总成绩 100 评语: 任课教师 时 间 09年 月 日 备 注 - 1 -

年珊珊：饿狼追兔问题

饿狼追兔模型研究

摘要：本文建立狼的运动轨迹微分模型；在各种假设的情况下，通过数形结合的直观形象

的画出兔子与狼的运动轨迹图形；采用解析方法和数值方法，研究兔子与狼的运行轨迹，编写matlab程序建立追击问题的数值模型。

关键词：饿狼追兔 数值解析 微分方程 求解

1 问题的背景

1.1 问题的背景

狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的

摘要

随着人们生活水平的不断提高，作为“无烟工业”旅游活动便成为人们生活水平的重要指标。本文围绕五一黄金周的旅游问题进行了定量的评估，对即有时间限制又有时间限制的旅游质量问题建立了数学模型，对求解结果进行了分析。

问题要求在只有1000元的旅游费用且在7天之内的条件下游览尽可能多的城市。首先，我们对预选的旅游景点之间消耗的费用和时间进行了分析。由于约束条件不仅要求费用不大于1000而且旅游时间在7天之内，因此，我们从长途汽车站和火车车次中选取费用最低且最节约时间的路线并记录了最优行程费用表。另外，由于时间的限制，因此，需引入0-1变量表示是否游览某个景点，根据求解最优Hamilton回路算法——三边交换调整法，以费用和时间为参考量，我们建立了一个适用于本问题最优规划模型，得出最优旅游路线①→⑥→⑤→④→③→⑧→⑩→①。

关键词：三边交换调整法 最优旅游路线 Matlab程序 0—1模型

1

问题重述

旅游路线安排计划

黄金周又到了，希望安排出外旅游。你要考虑的因素很多。首先，你得考虑时间有限（７天）；其次要考虑费用问题：根据有限的费用安排你的交通方式。当然，还要考虑出游的乐趣，希望多走几个景点。还要考虑劳逸结合，如较远的地方如坐

湖南第一师范学院

HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY

《线性规划与数学建模》

考查论文

论文题目: 紧急救援问题

组员1 组员2

姓 名 专业班级 及学号 数学班05号 分工 成绩评定 13级624分析问题、模型的陈淑月 建立及求解、撰写论文 建立及求解、撰写论文 13级624分析问题、模型的向云 数学班40号 摘要

本文研究在一定时间内运送医务人员到指定地点的优化设计问题。分析问题可将本文中的三个问题划分为三个阶段，并利用逐渐优化的模型进行求解。

第一个问题是在指定时间内完成人员的运送问题，通过分析，运用简单的计算方法就能马上得出结果：按此方案，时间超过三小时，因此他们不能按时到达。

然后针对问题二，由于题目中已给出部分条件，问题二则变成了追及和相遇问题，解决这类问题常采用分段求解法。我们通过对相遇和追及问题及其过程进行分析，得出这种方案能够使全部医护人员按时到达村庄。

针对问题三，文中详细讨论了运送医务人员的策略和方法，并进一步在问题上要求建立一个优化模型，以优化其策略，并且对其求解。在优化模型时需要采用不同于前一二题的思维方式，在改变思维方式后，会使问题变得更加清晰。我们可以

投资的收益与风险问题

摘要

对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。

本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好

2.问题重述与分析

3.市场上有种资产（如股票、债券、?）()供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。

购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易