实变函数第二章课后答案

实变函数论课后答案第二章4

第二章第四节习题

1. 证明全体有理数所构成的集合不是G δ集，即不能表成可数多个开集的交. 证明：设1R 上全体有理数为{}123,,,

,

n r r r r Q =.

则一个{}n r 作为单点集是闭集，所以{}1

i i Q r ∞==

是F δ集，但要证Q 不是G δ集，则不容易.

这里用到：Baire 定理，设n

E R ?是

F δ集，即1

k k E F ∞==.

k F ()1,2,k =是闭集，若每个k F 皆无内点，则E 也无内点

（最后再证之） 反证设{};1,2,i Q r i ==为G δ集，即1i i Q G ∞

==，

（i G 为开集，1,2,i

=

）

1R 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c =?.

证明：任取1

R 上的单调函数f ，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为

12,,

,,

m x x x （可为有限）

设1

R 中的有理数为{}12,,

,

,,n Q r r r f =?∈

令

()()()()()()()()(){}2

1111,,,,

,,,,i

i

i

i

f x f x r f r x f x r f r R

?=?.

则()f ?为2

R 中可数集.

若,f g ∈，使()()f g ??=，则()()

(),i i

第二章 点 集

在第一章里，我们介绍了一般的集合的基本知识，给出了一些重要概念和基本性质. 而实变函数课程研究的函数是定义在n维欧几里得空间Rn的子集上的实值函数，因此，有必要对

n着重讨论Rn中的点集所特有的一些性R中的点集作进一步的讨论. 本章在第一章的基础上，

质. 需要指出的是，因为Rn中点集也是集合，因而，在第一章关于一般的集合的所有结果对Rn中的点集都适用，但Rn中的点集所具有的许多特殊性质，对于一般的集合就不一定成立了.

§1 度量空间，n维欧氏空间

教学目的：使学生了解Rn中点集的直径，区间概念，掌握邻域的概念及性质。

本节重点：距离空间、距离概念，Rn 的几种常见距离规定方法，邻域的定义方式及性质。

在解析几何和数学分析中，我们已经对一维欧几里得空间R1（即R，实直线），二维欧几里得空间R2（即实平面）和三维欧几里得空间R3（即现实的三维立体空间）有了比较深入的了解. 现在，我们讨论n维欧几里得空间.

定义 设n是正整数，由n个实数构成的有序数组x?(x1,x2,?,xn)的全体组成的集合，称为n维点集，记作Rn，即Rn?{x?(x1,x2,?,xn):xi?R,i?1,2,?,n}.

为了深入研究n维点集Rn中邻

可复制、编制，期待你的好评与关注！ 第二章 解析函数

1．用导数定义，求下列函数的导数：

(1) ()Re .f x z z =

解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z

?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z

?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z

?→?=+?+? 000

Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0.

2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =?

解:

22222222()||()()

()(),f z z z z z z z z

x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++

这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+

2222222,

2,

2,2.x y y x u x y x v

西交大版本通用,如西工大 ,西交大。。。大连理工等等

第二章小结

本章主要介绍了解析函数的概念，给出了一些初等函数的定义，并研究了这些初等函数的性质, 主要知识点有

一、与函数解析有关的问题：要看解析，先看可导

1. 解析与可导的关系：

区域内等价，一点处并不等价，一点处解析是比一点处可导更强的概念

2. 一元实变函数具有的一些求导运算法则对复变函数同样成立，如四则运算、复合运算、反函数求导等

3.形式较简单的函数在一点可导的判断及求导方法

(1). 可导定义

(2). 转化为这些复变函数对应的两个二元实变函数的讨论

a. 判断可导：可微性、C-R方程

b. 求导：f'(z) u v i x x

4. 形式较复杂函数在一点可导判断及求导步骤：

拆解为一些形式较简单的函数；研究这些函数的可导性并求导；利用求导法则得原函数的可导性及导数

二、与初等函数有关的问题及要求

1. 熟记各种初等函数的定义公式、解析性及求导公式

2. 高数中的初等函数与复变函数中初等函数的区别

ez仅是一个记号、指数函数的周期为2k i(k Z)；负实数的对数有意义、Lnz nLnz,L 1

nn在复数范围内不再成立；ab ebLna(a 0)；Lnz

sinz 1,cosz 1在复数范围内不再成立

三、

实变函数论课后答案

实变函数论课后答案第五章1

第无章第一节习题

le数D(x)和Riemann函数R(x)计算]的Dirich函1.试就[0,1上

[0,1]

D(x)dx和

[0,1]

R(x)dx

x Q 11

RQ即 (为上全体有理数D(x) (x)Q1

0x R\Q

解:回忆D(x) 之集合)

回忆: E(x)可测 E为可测集和P129定理2:若E是Rn中测度有

_

限的可测集, f(x)是E上的非负有界函数,则 f(x)dx f(x)dx f(x)

E

为E上的可测函数

显然, Q可数，则m*Q 0，Q可测， Q(x)可测，有界,从而Lebesgue可积

由P134Th4(2)知

[0,1]

Q(x)dx

[0,1] Q

Q(x)dx

[0,1] Qc

Q(x)dx

[0,1] Q

1dx

[0,1] Qc

0dx

1 m([0,1] Q) 0 m([0,1] Qc) 1 0 0 1 0 回忆Riemann函数R(x):R:[0,1] R1

1 n R(x) 1

0

x

n

,m和n无大于1的公因子mx 0x [0,1] Q

在数学分析中我们知道, R(x)在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann可积, R(x) 0

a.e于[0,1]

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第二章

复变函数积分

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数学物理方法习题解答

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第二章

复变函数积分

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数学物理方法习题解答

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第二章 牛顿定律

2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )

(A) gsin θ (B) gcos θ (C) gtan θ (D) gcot θ

分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．

2 -2 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小( )

(A) 不为零,但保持不变 (B) 随FN成正比地增大

(C) 开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定

分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．

2 -3 一

第二章 牛顿定律

2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )

(A) gsin θ (B) gcos θ (C) gtan θ (D) gcot θ

分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．

2 -2 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小( )

(A) 不为零,但保持不变 (B) 随FN成正比地增大

(C) 开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定

分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．

2 -3 一

第二章习题答案

1. 若xm?x且ym?y，则?(xm,ym)??(x,y). 特别的, 若xm?x， 则?(xm,y)??(x,y).

证明：这实际上是表明?(x,y)是Rn?Rn上的连续函数. 利用三角不等式, 得到

?(xm,ym)??(x,y)??(xm,ym)??(x,ym)??(x,ym)??(x,y)??(x,xm)??(y,ym)?0,(m??).

2. 证明：若x1?O?x0,??，则??1??，使得O?x1,?1??O?x0,??.

证明：实际上取0??1????(x0,x1)即可，因为此时对任意的x?O?x1,?1?，有 ?(x,x0)??(x,x1)??(x1,x0)??1??(x1,x0)??，即x?O?x0,??.

3. 证明以下三条等价：(1).x0?E; (2). x0的任意邻域中都有E中的点；(3). 存在E中的点列?xn?收敛到x0. 进而，若x0?E，则存在??0，使得O(x0,?)?E??.

证明：注意到E?E?E'. （i）.若（1）成立，则x0?E或x0?E'. 若前者成立，显然（2）成立；若后者x0?E'成立，由极限点的定义也有（2）成立. 总之，由（1）推出（2）.

)?E??，在其中任

习题1.1

1．证明下列集合等式．

(1) A??B\\C???A?B?\\?A?C?； (2) ?A?B?\\C??A\\C???B\\C?； (3) A\\?B\\C???A\\B???A?C?． 证明 (1) A?(B\\C)?A?(B?C)

c ?(A?B?Ac)?(A?B?Cc) ?(A?B)?(A?C)c

?(A?B)\\(A?C) .

(2) (A?B)\\C?(A?B)?C

c?(A?Cc)?(B?Cc)

=(A\\C)?(A\\C).

(3) A\\(B\\C)?A\\(B?C) ?A?(B?C)

ccc?A?(Bc?C) ?(A?Bc)?(A?C)

?(A\\B)?(A?C).

2．证明下列命题．

(1) ?A\\B??B?A的充分必要条件是：B?A； (2) ?A?B?\\B?A的充分必要条件是：A?B??； (3) ?A\\B??B??A?B?\\B的充分必要条件是：B??．

证明 (1) (A\\B)?B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B?A的充要条 是：B?A.

(2) (A?B)\\B?(A?B)?B?(A?B)?(B?B)?A?B

c必