组合数学引论答案第三章

卢开澄组合数学--

§3.1 容斥原理引论第三章 容斥原理和鸽巢原理 §1 容斥原理引论例 [1,20]中2或3的倍数的个数 [解] 2的倍数是：2,4,6,8,10, 12,14,16,18,20。 10个

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§3.2 容斥原理3的倍数是：3,6,9,12,15, 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6, 12,18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13

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§3.2 容斥原理容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U,补集 AA {x | x U 且x A} ,有

(a)

A B A B

(b) A B A B

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§3.2 容斥原理证：(a)的证明。 设 x A B ,则 x A B x A B 相当于 x A和 x B 同时成立，亦即x A B x A B

(1)

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§3.2 容斥原理反之，若 x A B,即x A和x B

故 x A和x B.亦即x A B x A B

习题二

2.1 证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明：

假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

2.2 任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3 证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明：

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶

习题二

2.1 证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明：

假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

2.2 任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3 证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明：

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶

习题二

2.1 证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明：

假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

2.2 任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3 证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明：

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶

第三章习题答案

1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元， R2 = 2000 元和R3 = 4000 元。计算r 。 解: 令v = 1

1+r ，由P(r) = 0 有

C0 + C1v ? R2v2 ? R3v3 = 0 代入数据，解得： v ≈ 0.8453 ∴ r = 18.30%

2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第

一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000 元， 以后逐年递减4% ，计算R6 。 解: 由i = 6%, j = 4%

R6 = 30000(1 ? j)5 ? 3000(1 + i)5 = 30000 × 0.965 ? 3000 × 1.065 = 20446.60元

3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一 年底4000 元，第三年底5500 元。计算：P(0.09) 和P(0.10) 。 解: 净现值P(i) 为：

P(i) = ? 7000 + 4000(1 + i)?1 ? 1000(1 + i)?2 + 5500(1 + i)?

组合数学引论课后答案

习题一

1.1

任何一组人中都有两个人，它们在该组内认识的人数相等。

1.2

任取11个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是10的倍数

1.3

任取n+1个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是n的倍数

1.4

在1.1节例4中证明存在连续的一些天，棋手恰好下了k盘棋(k=1,2,…，21).问是

否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了22盘棋

1.5

将1.1节例5推广成从1,2，…，2n中任选n+1个数的问题

1.6

从1,2,…,200中任取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个能被另

一个整除

1.7

从1,2,…,200中取100个整数，使得其中任意两个数之间互相不能整除

1.8

任意给定52个数，它们之中有两个数，其和或差是100的倍数

1.9

在坐标平面上任意给定13个整点（即两个坐标均为整数的点），则必有一个以它们

中的三个点为顶点的三角形，其重心也是整点。

1.10 上题中若改成9个整点，问是否有相同的结论？试证明你的结论

1.11 证明：一个有理数的十进制数展开式自某一位后必是循环的。

1.12 证明：对任意的整数N，存在着N的一个倍数，使得它仅有数字0和7组成。（例如，

N=3,我们有3

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第三章习题答案

1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元， R2 = 2000 元和R3 = 4000 元。计算r 。 解: 令v = 1

1+r ，由P(r) = 0 有

C0 + C1v ? R2v2 ? R3v3 = 0 代入数据，解得： v ≈ 0.8453 ∴ r = 18.30%

2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第

一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000 元， 以后逐年递减4% ，计算R6 。 解: 由i = 6%, j = 4%

R6 = 30000(1 ? j)5 ? 3000(1 + i)5 = 30000 × 0.965 ? 3000 × 1.065 = 20446.60元

3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一 年底4000 元，第三年底5500 元。计算：P(0.09) 和P(0.10) 。 解: 净现值P(i) 为：

P(i) = ? 7000 + 4000(1 + i)?1 ? 1000(1 + i)?2 + 55

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第三章习题答案

1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元， R2 = 2000 元和R3 = 4000 元。计算r 。 解: 令v = 1

1+r ，由P(r) = 0 有

C0 + C1v ? R2v2 ? R3v3 = 0 代入数据，解得： v ≈ 0.8453 ∴ r = 18.30%

2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第

一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000 元， 以后逐年递减4% ，计算R6 。 解: 由i = 6%, j = 4%

R6 = 30000(1 ? j)5 ? 3000(1 + i)5 = 30000 × 0.965 ? 3000 × 1.065 = 20446.60元

3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一 年底4000 元，第三年底5500 元。计算：P(0.09) 和P(0.10) 。 解: 净现值P(i) 为：

P(i) = ? 7000 + 4000(1 + i)?1 ? 1000(1 + i)?2 + 55

【第 1 页 共 42 页】 第三章

3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通

过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。

[解].令：A 1={通过中文考试的学生}

A 2={通过英语考试的学生}

A 3={通过数学考试的学生}

于是 |Z| =100，|A 1|=92，|A 2|=75，|A 3|=65

|A 1∩A 2|=65，|A 1∩A 3|=54，|A 2∩A 3|=45

此题没有给出：

有多少人通过三门中至少一门；

有多少人一门都没通过。

但是由 max{ |A 1|,|A 2|,|A 3| }=max{92,75,65}=92

故可以认为：

至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A 1∪A 2∪A 3|≥92

至多有8人没通过一门考试，即0≤|1A ∩2A ∩3A | ≤8

于是，根据容斥原理，有

|A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)-(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3|

即 |A 1∩A 2∩A 3|=|A 1

第三章

3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通

过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。 [解].令：A1={通过中文考试的学生} A2={通过英语考试的学生} A3={通过数学考试的学生}

于是 |Z| =100，|A1|=92，|A2|=75，|A3|=65

|A1∩A2|=65，|A1∩A3|=54，|A2∩A3|=45

此题没有给出：

?有多少人通过三门中至少一门； ?有多少人一门都没通过。

但是由 max{ |A1|,|A2|,|A3| }=max{92,75,65}=92

故可以认为：

?至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A1∪A2∪A3|≥92

?至多有8人没通过一门考试，即0≤|A1∩A2∩A3| ≤8 于是，根据容斥原理，有

|A1∪A2∪A3|=(|A1|+|A2|+|A3|)-(|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|)+|A1∩A2∩A3| 即 |A1∩A2∩A3|=|A1∪A2∪A3|-(