导数的综合应用的教案

导数的综合应用

68195

精品好文档，推荐学习交流

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢14 提能专训(十九) 导数的综合应用

一、选择题

1．(2013·兰州一中12月月考)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0且g (3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( )

A ．(－3,0)∪(3，＋∞)

B ．(－3,0)∪(0,3)

C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D ．(－∞，－3)∪(0,3)

D 解题思路：因为f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以h (x )＝f (x )g (x )为奇函数，当x ＜0时，h ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，所以h (x )在(－∞，0)为单调增函数，h (－3)＝－h (3)＝0，所以当x ＜0时，h (x )＜0＝h (－3)，解得x ＜－3，当x ＜0时，h (x )＞0解得－3＜x ＜0，由于h (x )关于原点对称，所以x ＞0时h (x )＜0的x 取值范围为(0,3)．故选D.

2．(2013·哈尔滨第九中学第五次

导数的综合应用评课稿

一．教材分析：教材的地位和作用。

导数的应用我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具 通过本节的学习使学生具有树立利用导数处理问题的意识．

二．教学目标分析：根据新课程标准的要求，

（1）知识与技能目标：能利用导数解决与切线有关问题，会求函数的单调区间、极值、最值，不等式恒成立，方程根个数等问题。

（2）过程与方法目标：

培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。

（3） 情感、态度与价值观目标：

培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度以及辩证唯物主义的方法论和认识论的渗透.

3.教学重点与难点 教学重点：

在学生已经学习完导数这一章内容且基础知识已经复习完的情况下，我们将重点设为在明确函的单调性和导数的关系基础上，会求函数的单调区间、极值、最值. 教学难点：

不等式恒成立和方程根的个数问题. 三．教学过程分析

针对这节复习课的特点我设计了 （一） 复习导入（二）例题讲解（三）直击高考（四）课堂小结四个主要教学环节

环节（一）：复习导入

我设计了两个问题（1）导数的应用有哪些

（2）由给定导函数图像，让学生亲自动手画出原函数的图像，

复习课: 导数及其应用

教学目标

重点：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值．

难点：导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用，方程根及恒成立问题.

知识点：（1）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念（2）熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系. 理解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）.会求一些实际问题的最大值和最小值. 能力点：培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力． 教育点：求极值和最值的步骤，需要具体练习和掌握. 这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心.

自主探究点：函数导数等于零的点一定是极值点吗？

考试点：1.导数的概念、四则运算、常用函数的导数的考查2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值. 易错易混点：使导函数等于零的点当成了是极值点，没有进一步的检验，在选择题、和填空题中经常出错. 拓展点：不等式恒成立和方程根的个数问题.

学法与教具

学法：1.采用“学案导学”方式进行教学2.讨论法、启发式、自主学习、

泰勒公式与导数的应用

名称 泰 勒 公 式 主要内容 泰勒中值定理：如果f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n?1阶的导数，则对任一/x?(a,b)，有f//(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)?(x?x0)n?Rn(x)，此公式称为n阶泰勒公式； n!f(n?1)(?)其中Rn(x)?(x?x0)n?1（?(n?1)!介于，称为拉格朗日型余项；或x0于x之间）Rn(x)?o[(x?x0)n]，称为皮亚诺型余项。 n阶麦克劳林公式： f//(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x???x?Rn(x) 2!n!/f(n?1)(?x)n?1其中Rn(x)?x（0???1）或Rn(x)?o(xn)。 (n?1)!x2xn????o(xn) 常用的初等函数的麦克劳林公式：1）e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n2）sinx?x?????(?1)?o(x2n?2) 3!5!(2n?1)!2nx2x4x6nx3）cosx?1??????(?1)?o(x2n?1) 2!4!6

一、函数与极限 导数 导数的应用

一、填空题

x a

(1) 设a为非零常数，则lim . x x a x 2a (2) 设lim 8，则a . x x a

1,|x| 1,

(3) 设函数f(x) ，则f[f(x)] .

0,|x| 1,

(4) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a (5) 若f(t) limt(1 )

x

x

x

1

23

1x

2tx

，则f (t)

123

(6) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a . (7) 已知f (3) 2，则lim

h 0

f(3 h) f(3)

2h

x 1 t2,d2y(8) 设 则2

y cost,dx

(9) x 0

．

2sinx

(10) lim 1 3x

x

.

1 1

sinxx 3sinx x2cos ． (12) lim

x 0(13) lim( ) 2x 0x(11) limcotx

x 0

(14) 当x y x 2x取得极小值。

(15) 对数螺线 e在点( , ) (e,)处的切线的直角坐标方程为．

2y2

(16) 已知函数y y(x)由

导数引入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这一工具重新认识原中学数学课程中的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学教学中的新课题之一。纵观各类刊物，对导数的研究多都停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注甚少，本文从一个侧面，介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔视野。

例1 x?1求下列数列之和： （1）1?2x?3x??nx2222n?1；

n?1（2）1?2x?3x??nx2；

22222n?2（3）C2?C3x?C4x??Cnx.

2?1分析 （1）由(xk)'?kxk?1(k?1,2,?n)，可设f'(x)?1?2x?3x，则???nnx1?xn?1(x?1)上式两端求f(x)?1?x?x?x???x，而1?x?x?x???x?1?x23n23n导，并整理得1?2x?3x???nx2n?11?(n?1)xn?xn?1① ?2(1?x)（2）比较（1）（2）两式中的通项可发现，只需对两端同乘以x，再对x求导便可得到

1?2x?3x???nx（3）由Cnx2n?22n?11?x?(n?1)2xn?(2n2?2n?1)xn?1?n2xn?2 ?3(1?x)?n(n?1)n?21n?

导数的应用一---函数的单调性

要点一、函数的单调性与导数的关系：我们知道，如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有单调性，先看下面的例子：

函数y?f(x)?x?4x?3的图象如图所示。考虑到曲线y?f(x)的切线的斜率就是函数f(x)的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即f'(x)?0时，

2f(x)为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即f'(x)?0时，f(x)为减函数。

导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数y?f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，

①若f?(x)?0，则f(x)在这个区间上为增函数； ②若f?(x)?0，则f(x)在这个区间上为减函数； ③若恒有f?(x)?0，则f(x)在这一区间上为常函数.

反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有f?(x)?0恒成立（但不恒等于0）；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有f?(x)?0恒成立（但不恒等于0）．

要点诠释：1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上f?(x)?0，即切线斜率为正时，函数f(x)在这个区间上为增函数；当在某区间上f?(x)?0，即切线斜率为

导数的应用（二）

【2013年高考会这样考】了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、

极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题

1．函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这 个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． 2．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数

高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)

高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用

班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )

1

A. 32C. 3解析：

1B.2D．1

y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y－2＝－2x，即2x＋y－2＝0

y＝x由 2x＋y－2＝0

2 x＝3得

2 y＝ 3

22

，A 3，3，

高三理科数学二轮总复习专题(绝对精品)

121

S△ABO＝233答案：A

2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )

A．(－1,1) C．(－∞，－1)

B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

解析：f(x)>2x＋4，即f(x)－2x－4>0.

构造F(x)＝f(x)－2x－4

第1讲 变化率与导数、导数的运算

【2013年高考会这样考】

1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指南】

本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.

基础梳理

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为

fx2－fx1. x2－x1

Δy若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为. Δx2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义

Δy→0 ＝ 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率liΔxm

Δx→0 liΔxm

fx0＋Δx－fx0为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|xΔxΔy→0 . ＝x0，即f′(x0)＝liΔxm

Δx(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 →0 称函数f′(x)＝liΔxm

fx＋Δx－fx为f(x)的导