群的直积例题

群的直积（Direct Product of Group）

群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知的群构出新的群，可以用小群构造大群，也可以将一个群用它的子群来表示，这一节介绍子群的直积及其基本性质。

定义1 设G1,G2是群，G?{(a1,a2)|a1?G1,a2?G2)为集合G1与G2为的卡氏积（Cartesian product）,在G中定义乘法运算

(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),(a1,a2),(b1,b2)?G。

则G关于上述定义的乘法构成群，称为群G1与G2的外直积（external direct product），记作G?G1?G2，G1、G2称为G的直积因子(factor of the direct product)。

当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作G1?G2。 定理1 设G?G1?G2是群G1与G2的外直积，则 （1）

G是有限群的充分必要条件是G1与G2都是有限群，并且，当G是有限群时，??有|G|?|G1||G2|；

（2） （3） （4）

G是交换群的充分必要条件是G1与G2都是交换群。 G1?G2?G2?G1；

若令A1?{(a1,e2

矢量的直积——并矢

矢量的直积是矢量之间最简单的一种乘法运算，其结果是张量，所以也叫做矢量的张量积，俗称并矢。举例说明如下：

设三维白线性空间中的任意两个矢量的线性表出分别为

与

则两个矢量的直积就是一个并矢，属于二阶张量的一种，可记为

注意：并矢的先后次序一般不可交换。即

并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种。所谓直积运算就是一个矢量的所有线性组合项遍乘另一个矢量的所有线性组合项，类似于多项式乘法。如上例即

可见三维空间中的一个二阶张量共有9个分量。本例的基矢都是自然基矢（协变基矢），分量都是逆变分量，所以这个张量属于一个二阶逆变张量。

如果用爱因斯坦求和约定，上述并矢（二阶张量）还可以简洁地表示为

注意：两对哑标相乘时必须区别开。

其中基矢的并矢 叫做基张量，本例中的基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张

叫做张量的分量。对于两个n维矢量的并矢，有时也用完整

量。基张量对应的线性组合系数的一组

个分量表示其运算结果（一个二阶张量），即

矢量的直积运算还可以采用分量矩阵形式表示。如上例可表示为

一组9个基张量也可以用矩阵表示为

矢量的直积运算可以推广到多个矢量的并矢，即高阶张

资本公积金是企业的一种准资本.它可供企业无偿、无限期地运用。主要包括接受捐赠资产、法定资产重估增值、资本溢价、资本折算差额等。

盈余公积金分为法定盈余公积、任意盈余公积和公益金。法定盈余公积是按税后利润扣除国家允许扣除因素之后的10%计算。任何一个企业必须提取。任意盈余公积可以根据企业需要决定是否提取和提取比率，如果提取一般应该指定用途。公益金也是从税后利润中按国家或企业规定的比例提取，用途是为职工兴办集体福利，如购建职工住宅、俱乐部等。

资本公积:资本公积是指由股东投入、但不能构成“股本”或“实收资本”的资金部分，主要包括股本溢价、接受捐赠实物资产、投入资本汇兑损益、法定财产重估增值以及投资准备金等。资本公积的主要用途有两个，—是转赠资本，二是弥补亏损。

比如:公司在工商登记的注册资本为100万元，但股东实际投入到企业的资金为120万元，其中的100万元，就为实收资本，多出的20万元就为盗本公积。

盈余公积:盈余公积是指公司按照规定从净利润中提取的各种积累资金。盈余公积是根据其用途不同分为公益金和一股盈余公积两类。公益金专门用于公司职工福利设施的支出。按现行规定，上市公司按照税后利润的5%至10%的比例提取法定公益金。

一般盈余公积分为两种:一是法定

资本公积是由股东投入的但因故不能计入实收资本（或股本）中的那部分投入资金。以及企业在经营过程中，根据企业会计制度的规定，应当计入资本公积的那部分数额。包括：资本（或股本）溢价、接受捐赠非现金资产准备、接受现金捐赠、股权投资准备、拨款转入、外币资本折算差额、其他资本公积。这里，经营活动中按规定计入资本公积的数额，不是由企业创造的利润带来的。从总体上来说，资本公积属于投入资本，归全体股东按投资比例所有。除某些项目以外，资本公积可以转增资本。

盈余公积是指企业根据法律法规的规定和企业权力机构的决议，从企业税后利润中提取的各类盈余准备。包括：法定盈余公积金、任意盈余公积金、法定公益金、储备基金、企业发展基金、利润归还投资等。盈余公积是企业从企业创造的利润中提取的，属于留存收益范畴。盈余公积在保留法定余额的前提下，企业可以用于转增资本、分派股利、弥补亏损等。

资本公积与盈余公积最大的区别在于：前者为股东投入资本，而后者属于企业留存收益。

卷积的物理意义

进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。

首先，先列出卷积的定义式：r(t)=∫e(τ)h(t τ)dτ。从直观上理解

∞+∞

这个公式就是r在t时刻的取值等于e在τ时刻的取值乘以它持续的时间dτ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解

积的变化规律

讲课人：牛红阳 学校：杨沟小学 教学内容：人教版四年级上册第51页例1 教学目标：

1．使学生经历积的变化规律的发现过程，感受发现数学中的规律是一件十分有趣的事情。

2．尝试用简洁的语言表达积的变化规律，培养初步的概括和表达能力。

3．初步获得探索规律的一般方法和经验，发展学生的推理能力。 教学重点:

让学生通过自探找出规律 教学难点：

总结应用规律 教学过程：

一、。(5分钟)

1、同学们，开始新课之前，我们先来做个游戏，一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛（八）条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛（十二）条腿......你是怎样快速的知道腿的条数？学生回答列式1×4＝4 2 ×4＝8 3×4＝12 4×4＝16 5×4＝ 20 仔细观察上面的式子和算出的积，比较一下，你能发现什么？学生回答。

1、有一个因数都是4。

2、一个因数相同，另一个因数不同，积也不同。 3、另一个因数变了，积也变了。

4、我看到一个因数不变，另一个因数越变越大，积也越变越大。

同学们表现得太优秀了，给自己鼓励一下。下面请老师上课。 2、导入新课：

同学

第1课时

【教学题目】 §4.3.3积、商、幂的对数（2） 【教学目标】

1、能熟练的利用对数的性质计算对数的值；

2、能熟练的利用积、商、幂的对数运算法则计算、化简、求值.

【教学重点】利用积、商、幂的对数运算法则计算、化简、求值； 【教学难点】利用积、商、幂的对数运算法则计算、化简、求值 【教学过程】

一、导课 1、（1）对数的性质？

①loga1?0； ②logaa?1； ③N >0，即零和负数没有对数． （2）计算： log51= ； log0.51= ； log55= ； 2、积、商、幂的对数运算法则？

法则1： lgMN?lgM?lgN（M>0，N>0）；(积) 法则2： lgM； （商） ?lgM?lgN （M>0，N>0）

N法则3： lgMn= nlgM（n为整数，M>0）．（幂） 3、用lgx，lgy，lgz表示下列各式？

（1）lgxyz二、新授

?32?12??x5y??x2；（2）lg? （4）lg(x3yz5) ?y4??； （3）lg??z3??????21?21、求下列各式的值

（1）lg10 （2

周末练习 姓名___________学号___________ 1、找规律，再填空。

16×17=272 16×68= 16×51= 16×34= 16×85= 16×102= 2、 8×125= 24×125= 72×125= 3、 18×24= 105×45

（18÷2）×（24×2）= （105÷5）×（45×5）= （18×2）×（24÷2）= （105×3）×（45÷3）= 4、在○中填上运算符号，在□中填上数。 24×75＝1800 （24○6）×（75×6）＝1800 （24○3）×（75○□）＝1800 36×104＝3744

（36×4）×（104○4）＝3744 （36○□）×（104○□）＝3744

5.根据15×24=360，直接写出下面各题的得数。

第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示

★ 两向量的数量积

★ 例1 ★ 例4

★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的运算

★ 例6 ★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例7 ★ 例10

★ 例8

★ 数量积的运算 ★ 例2 ★ 例5

★ 向量积的定义

★ 例3

★ 混合积的几何意义 ★ 例12 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题7-3 ★ 返回

内容要点

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、它们的夹角为?，乘积|a||b|cos?称为向量a与b的数量积（或b，称为内积、点积），记为a?b，即

????a?b?|a||b|cos?????????.

根据数量积的定义，可以推得：

?????? （1） a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;

（2） a?a?|a|;

??????（3） 设a、b为两非零向量，则 a?b的充分必要条件是 a?b?0.

???2数量积满足下列运算规律：

????（1）交换律 a?b?b?a;

（2）分配律 （3）结合律

???????

数学学科师生共用导学案

年级：八年级 科目：数学 执笔： 审核： 版本：人教版 课题：14.1.3 积的乘方 课型：新授课 时间： 学习目标：1.会进行积的乘方运算，进而会进行混合运算.

2.明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.

3.通过积的乘方法则的探究及应用，让学生继续体会从特殊到一般的认知规律，从一般到特殊的应用规律. 重点难点： 重点：积的乘方运算法则及其应用. 难点：各种运算法则的灵活运用.

教学方法：引导启发、合作探究、讲练结合 教具：导学案 课时：1课时 教学时间： 导学过程：一、创设情境，导入新课

问题一：1、已知一个正方体的棱长为2×103

cm，?你能计算出它的体积是多少吗？

列式为：

2.讨论：体积应是

V=(2×103)3cm3，这个结果是幂的乘方形式吗？底数是

，其

中一部分是103

幂，但总体来看，底数是 . 因此(2×10

3

)3应该理解为

.如何计算呢？

二、探究学习，获取新知

问题二： (用4分钟时间解答