误差理论和有效数字运算规则

有效数字运算规则

间接测量的计算过程即为有效数字的运算过程，存在不确定度的传递问题。严格说来，应根据间接测量的不确定度合成结果来确定运算结果的有效数字。但是在没有进行不确定度估算时，可根据下列的有效数字运算法则粗略地算出结果。

有效数字运算总的原则是：运算结果只保留一位(最多两位)欠准确数字。

1．加减运算

根据不确定度合成理论，加减运算结果的不确定度，等于参与运算的各量不确定度平方和的开方，其结果大于参与运算各量中的最大不确定度。如：

N x y

UN x 2x U2y U(或Uy)

因此，加减运算结果的有效数字的末位应与参与运算的各数据中不确定度最大的末位对齐，或根据有效数字与不确定度的关系，计算结果的欠准确数字与参与运算的各数值中最先出现的欠准确数字对齐。下面例题中在数字上加一短线的为欠准确数字。

【例3】32.1 3.235和116.9 1.652的计算结果各应保留几位数字？

【解】先观察一下具体计算过程：

32.1

3.235

35.335 116.91.652115.248

可见，一个数字与一个欠准确数字相加或相减，其结果必然是欠准确数字。例3中各数值最先出现欠准确数字的位置在小数点后第一位，按照运算结果保留一位欠准确数字的原则

32.1 3.235 35

有效数字运算规则

间接测量的计算过程即为有效数字的运算过程，存在不确定度的传递问题。严格说来，应根据间接测量的不确定度合成结果来确定运算结果的有效数字。但是在没有进行不确定度估算时，可根据下列的有效数字运算法则粗略地算出结果。

有效数字运算总的原则是：运算结果只保留一位(最多两位)欠准确数字。

1．加减运算

根据不确定度合成理论，加减运算结果的不确定度，等于参与运算的各量不确定度平方和的开方，其结果大于参与运算各量中的最大不确定度。如：

N x y

UN x 2x U2y U(或Uy)

因此，加减运算结果的有效数字的末位应与参与运算的各数据中不确定度最大的末位对齐，或根据有效数字与不确定度的关系，计算结果的欠准确数字与参与运算的各数值中最先出现的欠准确数字对齐。下面例题中在数字上加一短线的为欠准确数字。

【例3】32.1 3.235和116.9 1.652的计算结果各应保留几位数字？

【解】先观察一下具体计算过程：

32.1

3.235

35.335 116.91.652115.248

可见，一个数字与一个欠准确数字相加或相减，其结果必然是欠准确数字。例3中各数值最先出现欠准确数字的位置在小数点后第一位，按照运算结果保留一位欠准确数字的原则

32.1 3.235 35

II 误差理论

1. 古典误差理论与现代误差理论的区别

古典误差理论对偶然误差的研究只限于正态分布的偶然误

差——研究对象，而现代误差理论在研究正态分布的基础上又进一步研究了非正态分布的偶然误差。

在古典误差理论中，长不加条件地指出偶然误差具有4点性质，即单峰性、对称性、有界性、抵偿性。 实际上，这4个性质对有些非正态分布如均匀分布就不具备。

古典误差理论对纯系统误差作一般讨论，重点是研究纯偶然误差，这是叫理想化的情况。在实际工作中，除了纯系统误差外，还存在半系统误差、极限误差等。所以，古典误差理论无法解决目前实际工作中遇到的一些问题，而现代误差理论除了讨论系统误差和偶然误差外，还重点讨论半系统误差（又称随机性系统误差、系统误差限）和极限误差，因此现代误差理论所讨论的问题比较符合实际工作中遇到的问题。 2．误差理论的应用

在下列情况下，需要用到误差理论：（1）处理检定数据；（2）估计测量结果和测量结果的精确度；（3）建立计量标准和设计仪器；（4）设计新的测量方法、新的检定规程。

3. 为什么测量结果都带有误差？

完成某项测量必须要有测量仪器、测量方法和测量人员。这三方面都可能使测量产生差。所以，任何测量结果都带有误差。

1

4. 产生误差的

第 1 页 共 22 页

《误差理论与测量平差》（1）

1． 正误判断。正确“T”，错误“F”。（30分） 1． 在测角中正倒镜观测是为了消除偶然误差（ ）。

2． 在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是系统误差（ ）。

3． 如果随机变量X和Y服从联合正态分布，且X与Y的协方差为0，则X与Y相互独立（ ）。 4． 观测值与最佳估值之差为真误差（ ）。 5． 系统误差可用平差的方法进行减弱或消除（ ）。 6． 权一定与中误差的平方成反比（ ）。 7． 间接平差与条件平差一定可以相互转换（ ）。

8． 在按比例画出的误差曲线上可直接量得相应边的边长中误差（ ）。

9． 对同一量的N次不等精度观测值的加权平均值与用条件平差所得的结果一定相同

（ ）。

10． 无论是用间接平差还是条件平差，对于特定的平差问题法方程阶数一定等于必要观测数

（ ）。

11． 对于特定的平面控制网，如果按条件平差法解算，则条件式的个数是一定的，形式是多

样的（ ）。

12． 观测值L的协因数阵QLL的主对角线元素Qii不一定表示观测值Li的权（ ）。 13． 当观测值个数大于必要观测数时，该模型可被唯一

矩阵的运算及其运算规则

一、矩阵的加法与减法

1、运算规则

设矩阵 则

，，

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！

注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

2、 运算性质 （假设运算都是可行的） 满足交换律和结合律 交换律 结合律

；

．

二、矩阵与数的乘法

1、 运算规则

数乘矩阵A，就是将数

乘矩阵A中的每一个元素，记为

或．

特别地，称称为

的负矩阵．

2、 运算性质

满足结合律和分配律

结合律： (λμ)A=λ(μA) ； (λ+μ)A =λA+μA． 分配律： λ (A+B)=λA+λB．

典型例题

例6.5.1 已知两个矩阵

满足矩阵方程，求未知矩阵

．

解 由已知条件知

三、矩阵与矩阵的乘法

1、 运算规则

设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：

．

列元素对应相乘，再取

(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 (2) C的第行第乘积之和．

典型例题 例6.5.2 设矩阵

列的元素

由A的第行元素与B的第

计算 解

《误差理论与数据处理》

第1章

习题解答

1-5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差。

【解】： 绝对误差：

180000'02\?180000'00\?2\

相对误差：

2\2\2\?? 180000'00\180?60?60\648000?0.00000308641?3.08641?10?6?3.1?10?4%

1-6在万能测长仪上，测得某一被测件的长度为50mm,其最大绝对误差为1?m，试问该被测件的真实长度为多少？

已知：测得值L＝50mm，绝对误差?L＝1?m=0.001mm 【解】由于 绝对误差＝测得值—真值，即?L?L?L0

真值＝测得值—绝对误差

L0?L??L＝50.000-0.001＝49.999mm

1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】：真值＝100.5Pa，测得值＝100.2Pa

绝对误差＝测得值—理论真值＝100.2-100.5＝-0.3Pa

1

1-8在测量某一长度时,读数值为2.31m,其最大绝对误差为20?m,试求其最大相对误

差。

【解】：最大相对

一、选择题：（每小题3分，共15分）

1、测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的 性。

A．单峰性 B. 相关性 C. 抵偿性 D. 对称性

2、单位权化的实质是使任何一个变量乘以 ，得到的新变量权数为1。 A．测量次数 B.变量自身对应的权的平方根 C. 变量自身对应的权 D.单位权 3、标准差是反映测量数据的 。 A．分布范围 B. 分布规律 C. 互相抵偿的能力 D. 分散的疏密程度 4、剔除粗大误差的原则中用 能够迅速作出判断。 A．格罗布斯准则 B. 莱以特准则 C．罗曼诺夫斯基准则 D. 狄克逊准则

5、等精度测量数据的最小二乘法原理是基于 原则而推导出的。 A．残差的平方和为最小 B. 算术平均值原理

C．残差的和趋向于零 D. 正态分布的随机误差的性质

二、填空题：（每个小题3分，共15分）

1、 量限为300V的电压表在100V出现最大示值误差为1.2V，则这个电压表的准确度等级S为 级。

2、正确写出结果：4.319+1.38-0.453=

名词解释：

1. 测量范围：所谓测量范围只在允许误差范围内一起的被测量值的范围。 2. 滞差：在输入量由小逐渐增大再由大逐渐减小的过程中，对用一大小的输入量出现不同

大小的输出量，这种由于测量行程方向的不同，对应于同一出入量产生输出的差异统称为滞差。

3. 零值误差：指当测量为零值时，测量仪器示值相对于零的差值，也可说是测量仪器的零

位误差。

4. 示值误差：指测量仪器的示值与被测量的真值之差。

5. 齿轮空会：齿轮机构在工作状态下，输入轴方向回转时，输出轴产生的滞后量。 6. 准确度：测量仪器给出接近于真值的响应能力。

7. 等效节点：将一对共轭点A和A’用虚线连起来，次虚线和光轴的交点为J0，则透镜

绕点J0微量转动，像点不懂，称为J0透镜的等效节点，称过点J0作光轴的垂面为等效接平面。

8. 螺旋线误差：螺杆旋转一个螺距周期，在同一半径的圆柱截面内，加工形成的螺旋线轨

迹与理论螺旋线轨迹之差。 9. 灵敏度：即仪器对被测量变化的反应能力。S=

?L x10. 阿贝原则：所谓阿贝原则，即被测尺寸与标准尺寸在测量方向的同一直线上，或者说，

被测量轴线只有在基准轴线的延长线上，才能得到精确的测量结果。

11. 螺距积累误差：在给定长度范围内，任意两牙间的

初中一年级（七年级）（上册）数学教案

教学过程设计 分析备注 应注意到近似第二章 有理数 §2.14 近似数和有效数字 教学目的： 1、知识目标： 要求学生了解近似数的概念，以由四舍五入得到的近似数，能说出它的精确度，有几个有效数字； 2、能力目标：给出一个数，能按指定的精确度要求，用四舍五入的方法求近似数。 3、情感目标：激发学习数学的兴趣，培养学生勇于迎难而上的优秀品质。 教学分析： 重点：近似数的准确求法及有效数字的理解。 难点：近似数在实际情况下的取值。 教学过程： 一、知识导向： 本节是以小学所学过的近似数为基础，通过以前所学过的知识，结合新知识，对求近似数给出新的范畴，特别在引入有效数字的的概念后，通过不同的角度来分析、认识近似数。并以此来学习一类与实际生活中紧密联系的近似数。 二、新课拆析： 1、知识探索：

初中一年级（七年级）（上册）数学教案

教学过程设计 分析备注 在有些情况下，一个数可以准确无误地表示一个数在生活在的量，如教材中所举的，通过点数统计出的全班的人数（48必要性。 人），这是一个准确无误的数字。此外规定1m=100cm中 的100，全班的学生数为48中的4

初中一年级（七年级）（上册）数学教案

教学过程设计 分析备注 应注意到近似第二章 有理数 §2.14 近似数和有效数字 教学目的： 1、知识目标： 要求学生了解近似数的概念，以由四舍五入得到的近似数，能说出它的精确度，有几个有效数字； 2、能力目标：给出一个数，能按指定的精确度要求，用四舍五入的方法求近似数。 3、情感目标：激发学习数学的兴趣，培养学生勇于迎难而上的优秀品质。 教学分析： 重点：近似数的准确求法及有效数字的理解。 难点：近似数在实际情况下的取值。 教学过程： 一、知识导向： 本节是以小学所学过的近似数为基础，通过以前所学过的知识，结合新知识，对求近似数给出新的范畴，特别在引入有效数字的的概念后，通过不同的角度来分析、认识近似数。并以此来学习一类与实际生活中紧密联系的近似数。 二、新课拆析： 1、知识探索：

初中一年级（七年级）（上册）数学教案

教学过程设计 分析备注 在有些情况下，一个数可以准确无误地表示一个数在生活在的量，如教材中所举的，通过点数统计出的全班的人数（48必要性。 人），这是一个准确无误的数字。此外规定1m=100cm中 的100，全班的学生数为48中的4