热传导方程傅里叶解一阶非齐次方程定解问题

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：

其中：

?

u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。

? ? ?

/,

是空间中一点的温度对时间的变化率。 与

温度对三个空间座标轴的二次导数。

k 决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用

第八章 热传导方程的傅里叶解

第一节 热传导方程和扩散方程的建立

8.1.1 热传导方程的建立

推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。

热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即

x u q k x

?=-? （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。

研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有

x u q k x ?=-?，y u q k y ?=-?，z u q k z

?=-? 或

即热流密度矢量q r 与温度梯度u ?成正比。

下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。

第一步，定变量。研究介质

第1 5卷第 1期2 0 1 2年 1月

高等数学研究STU D I ES I N C0 LLEGE M A T H EM A TI CS

VoI .1 5, No .1

J a n .,2 0 1 2

一

维热传导方程定解问题的两种积分变换解法金启胜(安庆职业技术学院公共基础部，安徽安庆 2 4 6 0 0 3 )

摘要利用 F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换的一些性质求解一维热传导方程的定解问题，将两种求解方法进行比较，给出两种求解方法的区别和联系 .

关键词 F o u r i e r变换； L a p l a c e变换；热传导方程中图分类号 O1 7 5 . 2 文献标识码 A 文章编号‘ 1 0 0 8— 1 3 9 9 ( 2 0 1 2 ) O l一 0 0 7 1— 0 2

F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系

程的初值问题

统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要的作用.人们在研究这些系统时，往往从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在通常情况下，这个数学模、

[ ㈤

],

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目 录

第一章绪论 .............................................................................................................................................................................. I

1.1 课题背景和意义 .................................................................................................................................. I 1.2 课题研究现状 ....................................................................................................................................... I 1.3 课题要求........................................

目 录

第一章绪论 .............................................................................................................................................................................. I

1.1 课题背景和意义 .................................................................................................................................. I 1.2 课题研究现状 ....................................................................................................................................... I 1.3 课题要求........................................

方程整数解问题 姓名 学号

1. 因式分解法 例1. 例2.

练习1.求方程2xy?5?4y?x的正整数解

2. 变量分离法

求方程x2?y2?868的正整数解 求方程xy?x?y?6的整数解

4是整数，则整数a的取值为 a?14 若代数式是正整数，则整数a的取值为

a?1引例1.若代数式例3.

练习2.已知方程xy?3x?5y?77，x，y为整数，则满足条件得所有对（x，y）的组数为

第 1 页 共 5 页

求方程2(x?y)?xy?7的正整数解

3. 选取主元法（△法） 例4.

已知a2x2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0（其中a为非负整数）至少有一整数根，

则a=

変题1.若两个实根都是整数，则a= 変题2.若a是整数，则a= 例5.

设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数，求

满足条件的所有整数k的值。

変题1.若改整数k为实数

递归方程解的渐近阶的求法

递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。

递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。这里只介绍比较实用的五种方法。

1. 代入法 这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这

一推测的正确性。那么，显式解的渐近阶即为所求。

2. 迭代法 这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，

然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。

3. 套用公式法 这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况

下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。

4. 差分方程法 有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问

题)的方法来解递归方程。然后对得到的解作渐近阶的估计。 5. 母函数法 这是一个有广泛适用性的方法。它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次

和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解

浙江省精品课程--高等数学AⅠ教案（同济六版）2013----------宁波工程学院

补讲2 常数变易法、可降阶方程

1、主要教学目标

1、一阶线性微分方程的标准形式及其解法；

2、三种可降阶微分方程的解法；

2、重点内容

1、一阶线性微分方程的解法及解的结构； 2、常数变易法；

3、三种可降阶微分方程的解法。 3、难点分析

1、用变量代换将伯努利方程转化为线性方程并求解； 2、常数变易法、用变量代换法求解微分方程。 4、对教材的处理及其教学提示

微分方程求解重在掌握思想方法，积分运算不宜过难，淡化伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法

5、作业布置P315-1（1）； 2（1）；3； P323-1（1、5、7）；4

一、线性方程

?P(x)dx. 1、通解公式 y?Ce?2、非齐次线性方程的解法----常数变易法

实质: 未知函数的变量代换。新未知函数u(x)?原未知函数y(x),

?P(x)dx?P(x)dxP(x)dx?u(x)[?P(x)]e?, 作变换y?u(x)e?，求导 y??u?(x)e??P(x)dxP(x)dx?Q(x),积分得 u(x)??Q(x)e?将y和y?代入原方程得u?(x)e?dx?C,

3、

第三章热传导方程

一、 小结

求解偏微分方程定结问题的另一个常用的方法是积分变换法。本章只限于介绍有广泛应用的傅立叶变换法。应用分离变量法与傅立叶变换法提供了热传导方程混合问题与初值问题的求解方法。 1．混合问题

一维齐次热传导方程带有齐次边界条件的混合问题，仍可用分离变量法求解。例如混合问题

?ut?a2uxx(t?0,0?x?l)??(I)?u(x,0)??(x) ?u(0,t)?u(l,t)?0??的级数形式解为

u(x,t)??Aken?0??(k?a2)tlsink?xl(1)

其中

Ak?2lk??(?)sin?d??0ll?(k?a2)tl(k?1,2,?)

1但由于（1）中含有指数因子：e，与弦振动方程不同，只要?(x)?C[0,l],且

?(0)??(l),形式解（1）就是问题（I）的解，且当t?0时，u?C?.

对于方程或边界条件是非齐次的情况,处理方法和弦振动方程类似,可通过适当变换、叠加原理、齐次化原理化为问题（I）。

对于高维热传导方程的混合问题，也可用上述类似方法转化为齐次方程、齐次边界条件的问题。后者对某些特殊区域仍可用分离变量法求解。解本征值问题时，通常得到本征函数系是类特殊函数。

2．初值问题

初中数学解一元一次方程的方法归纳

解一元一次方程技巧

初中一年级学生在学完解一元一次方程之后,已掌握了书本上所总结的五个解题步骤,但在整个一元一次方程部分的习题和练习题中,潜存着许多解题技巧,只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律,巧妙地运用某些基本性质、法则,就可以达成“一点通”之效果。在教学实践中,笔者长期钻研具有某种特点的一元一次方程的简便解法,充分发挥课本习题和练习题的作用,摸索其中的技巧和捷径,研究了具有某种特点的一元一次方程快解法十五则,仅供参考。

一、 利用倒数关系去括号

例1解方程

分析：题中互为倒数，故有，因而可以先去中括号，同时也去掉了小括号，从而简化了运算。 解：去中括号，得

化简，得

解得

。 ，

点评：利用互为倒数的两数之积为1，将原方程去括号，可使解方程简捷。

二、 从外到内去括号

例2 解方程9{7[5（3+4）+6]+8}=1

分析：此方程的特点是左边多层括号，右边只有一项，故可从外到内去括号

解：方程两边同乘9，得7[5（3+4）+6]+8=9 移项，合并同类项，得7[5（3+4）+6]=1

两边同乘以7，得5（3+4）+6=7

初中数学解一元一次方程的方法归纳

x 2移项、合并同类项，得5（3+4）=1

两边同乘以5，得3+4=5

移项、