常用函数定义域和值域

函数的定义域与值域的常用方法

一. 教学内容：

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值

二. 学习目标

1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；

3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；

4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；

5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。

三. 知识要点

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题所给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值

函数的定义域、值域练习题

精品 1、求下列函数的定义域：

⑴y =

⑵y =

⑶01(21)111

y x x =+-++- 2

_ _ _；

域为________；

3、若函数(1)f x +

(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x

+的定义域为 。

4、

知 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

5、 求下列函数的值域

(1)223y x x =+- ()x R ∈⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311

x y x -=+

(5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++

⑻2y x x =- ⑼

y ⑽ 4y =

⑾y x =

6.已知函数222()1

x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

函数的定义域、值域练习题

精品 7、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3

)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=

[键入文字]

课 题 教学目标 重点、难点 函数复习 掌握函数的概念（定义域，值域，解析式） 求函数值域是本节课的难点 教学内容 一、函数复习 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x 2．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系

[键入文字]

课 题 教学目标 重点、难点 函数复习 掌握函数的概念（定义域，值域，解析式） 求函数值域是本节课的难点 教学内容 一、函数复习 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x 2．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系

1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① f(x) ①f(x)

11

；② f(x) x 2；③ f(x) x 1 x 22 x4 x 1 ②f(x)

2

x2 3x 4

x 1 2

⑤y

③f(x)

11

11 1x

④f(x)

(x 1)0x x

x 2 3 1x 7

例3 若函数y

ax2 ax

1

的定义域是R，求实数a a

14

例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

2

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域。

例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

\例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1 x 1) ②f(x) 1 x 3）③ y x

例4 若函数y f(x)的定义域为[ 1，1]，求函数y f(x ) f(x )1

4

23x

1

（记住图像） x

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①y x2 4x 1； ②；y x2 4x 1,x [3,4] ③y x2 4x 1,x [0,1]； ④y x2 4x 1,x [0,5]； 练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域

2、求函数y

§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式

1．函数的定义域

(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． (2)求定义域的步骤

①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；

③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．

②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为R.

④y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. π??

⑤y＝tan x的定义域为?x|x∈R且x≠kπ＋2，k∈Z?.

??⑥函数f(x)＝x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}． 2．函数的值域

(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y＝kx＋b (k≠0)的值域是R.

4ac－b

②y＝ax＋bx＋c (a≠0)的值域是：当a>0时，值域为?，＋∞?；当a<0时，值域为

?4a?

2

?－∞，4ac－b?.

4a??

2

2

k③y＝ (k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．

x④y＝ax (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y＝logax (a>0且a≠1)的值域是R.

课 题 函数的定义域与值域 1、 掌握定义域的求法 教 学 目 的 2、 掌握复合函数定义域求法 3、 掌握值域的几种重要求法 重 难 点 1、 定义域 2、 值域 教 学 内 容 【基础知识网络总结与巩固】 一、函数及其表示 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数

求复合函数相关定义域

一、已知f(x)的定义域，求复合函数f[g x ]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x a,b ，求出f[g(x)]中a g(x) b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

例1 已知f(x)的定义域为(0，3]，求f(x2 2x)定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

2 x 2，或x 0 x 2x 0 0 x 2x 3 2 3 x 1 x 2x 3

即 3 x 2或0 x 1

故f(x2 2x)的定义域为 3, 2 0,1

【评注】所谓定义域是指函数中自变量x的取值范围，因此我们可以直接将复合函数22中x 2x看成一个整体x，即由0 x 3可得0 x 2x 3，解出x的范围即可。

2 x x 2 （2006年湖北卷）设f x lg，则f f 的定义域为 （B） 2 x 2 x

A. 4,0 0,4 B. 4, 1 1,4

C. 2, 1 1,2

函数与集合综合

鼎浩函数测试

1、 a=log0.8 , b=log0.9

0..71.10.9, c=1.1的大小关系是 （ ）

A. c<b<a B. a<b<c C. c<a<b D. b<a<c 2、已知lga，lgb是方程2x2

－4x＋1 = 0的两个根，则(lg

a2

b

)的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 3、设a，b，c∈R，且3a

= 4b

= 6c

，则 ( )．

(A)．

1c=1a＋1b (B)．1c=2a＋2221212b (C)．c=a＋b (D)．c=a＋b

4、方程6 7x

7 x

1 0的解为_____________

5、若lg2 = a，lg3 = b，则lg=_____________．

412

6

、化简的结果是

7、(1

1232)(1 1216)(1 128)(1 11124)(1 22)(1 2

)的值等于

1 12

1

18、计算 0.0081

3

4

[3 7 0

] 1 81 0.25 3 3

函数与集合综合

鼎浩函数测试

1、 a=log0.8 , b=log0.9

0..71.10.9, c=1.1的大小关系是 （ ）

A. c<b<a B. a<b<c C. c<a<b D. b<a<c 2、已知lga，lgb是方程2x2

－4x＋1 = 0的两个根，则(lg

a2

b

)的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 3、设a，b，c∈R，且3a

= 4b

= 6c

，则 ( )．

(A)．

1c=1a＋1b (B)．1c=2a＋2221212b (C)．c=a＋b (D)．c=a＋b

4、方程6 7x

7 x

1 0的解为_____________

5、若lg2 = a，lg3 = b，则lg=_____________．

412

6

、化简的结果是

7、(1

1232)(1 1216)(1 128)(1 11124)(1 22)(1 2

)的值等于

1 12

1

18、计算 0.0081

3

4

[3 7 0

] 1 81 0.25 3 3