导数经典例题及答案

高三数学 导数与积分经典例题以及答案

一. 教学内容：

导数与积分

二. 重点、难点： 1. 导数公式：

y?f(x)?c

f?(x)?0 f?(x)?n?xn?1

y?f(x)?xn

y?f(x)?sinx y?f(x)?cosx y?f(x)?ax y?f(x)?logax

2. 运算公式

f?(x)?cosx f?(x)??sinx f?(x)?axlna

f?(x)?1logae x[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

[f(x)?g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)?g?(x) [f(x)f?(x)g(x)?f(x)g?(x)]?? 2g(x)g(x) 3. 切线，过P（x0,y0）为切点的y?f(x)的切线，y?y0?f?(x0)(x?x0) 4. 单调区间

不等式f?(x)?0，解为y?f(x)的增区间，f?(x)?0解为y?f(x)的减区间。 5. 极值

（1）x?(a,x0)时，f?(x)?0，x?(x0,b)时，f?(x)?0 ∴ f(x0)为y?f(x)极大值

（2）x?(a,x0)时f?(x)?0，x?(x0,b)时，f?(x)?0 ∴ f(x0)为y?f(x)的极小值。

作业一 一、求一个任意边长的矩形面积。 #include void main() {int w,h,sum;

scanf(\sum=w*h;

printf(\}

二、求一个任意半径的圆的面积及周长。 #define PI 3.14159 #include void main() {float r,area,c; scanf(\area=PI*r*r; c=2*PI*r;

printf(\}??

三、已知：w=5, y=4, z=2, 求表达式：w*y/z的值，并输出。 ##include void main() { int w,y,z,r;

w=5; y=4; z=2; r=w*y/z;

printf(\}

作业二 一、从键盘上输入三个数，求出其中的最大值，并输出。 #include void main() {int a,b,c,max;

scanf(\max=a;

if(max

printf(\}??

。

二、求sin300+sin600+cos300+cos600之和。（注意：30*3.14159/180）

#include #define PI 3.14159 #include void ma

第二章作业

2-1 下表为某高速公路观测交通量，试计算： （1）小时交通量；（2）5min高峰流率；（3）15min高峰流率；（4）15min高峰小时系数。

解：（1）小时交通量=201+…+195=2493 (2) 5min高峰流率=232×12=2784

（3）15min高峰流率=(232+219+220) ×4=2684 （4）15min高峰小时系数=2493/2684=92.88%S

2-2 对长为100m的路段进行现场观测，获得如下表 的数据，试求平均行驶时间t，区间平均车速，时间平均车速。

解：（1）时间平均车速：v??vni?75?...?67.9?72.16

16（2）区间平均车速：v?L11?nvi?nL?72 t?i[例]某公路需要进行拓宽改造，经调查预测在规划年内平均日交通量为50000辆/天（小汽

车），设计小时系数K=17.86x-1.3-0.082，x为设计小时时位（x取30），取一条车道的设计能力为1500辆/小时（小汽车），试问该车道需修几车道？ 解：1、设计小时交通量系数：k?17.86?30?1.3?0.086?0.13 2、设计小时交通量DHV?50000?13/100?6500 3、车道数：n?取n=

1．设函数f(x)在x0处可导，则lim?x?0f(x0??x)?f(x0)等于

?x A．f'(x0) B．f'(?x0) C．?f'(x0) D．?f'(?x0) 2．若limf(x0?2?x)?f(x0)23?1，则f'(x0)等于 A． B． C．3 D．2

323?x?x?03．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为

A．90° B．0° C．锐角 D．钝角 4．对任意x，有f'(x)?4x3，f(1)=-1，则此函数为

A．f(x)?x4 B．f(x)?x4?2 C．f(x)?x4?1 D．f(x)?x4?2 5．设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(x0)相等的是 （1）limf(x0)?f(x0?2?x)f(x0??x)?f(x0??x)； （2）lim；

?x?02?x?xf(x0?2?x)?f(x0??x)f(x0??x)?f(x0?2?x)（4）lim.

?x?0?x?x

?x?0 （3）lim?x?0 A．（1）（2） B．（1）（3

第二章作业

2-1 下表为某高速公路观测交通量，试计算： （1）小时交通量；（2）5min高峰流率；（3）15min高峰流率；（4）15min高峰小时系数。

解：（1）小时交通量=201+…+195=2493 (2) 5min高峰流率=232×12=2784

（3）15min高峰流率=(232+219+220) ×4=2684 （4）15min高峰小时系数=2493/2684=92.88%S

2-2 对长为100m的路段进行现场观测，获得如下表 的数据，试求平均行驶时间t，区间平均车速，时间平均车速。

解：（1）时间平均车速：v??vni?75?...?67.9?72.16

16（2）区间平均车速：v?L11?nvi?nL?72 t?i[例]某公路需要进行拓宽改造，经调查预测在规划年内平均日交通量为50000辆/天（小汽

车），设计小时系数K=17.86x-1.3-0.082，x为设计小时时位（x取30），取一条车道的设计能力为1500辆/小时（小汽车），试问该车道需修几车道？ 解：1、设计小时交通量系数：k?17.86?30?1.3?0.086?0.13 2、设计小时交通量DHV?50000?13/100?6500 3、车道数：n?取n=

导数及其应用

【考纲说明】

1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

【知识梳理】

导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数导数的运算 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 一、导数的概念

?y?y=f（x+?x）－f（x）?x叫做函函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量00，比值?yf(x0??x)?f(x0)?y?x数y=f（x）在x0到x0+?x之间的平均变化率，即?x=。如果当?x?0时，?x有极限，我们

就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|x?x0。

f(x0??x)?f(x0)?ylimlim?x?x?0??x即f（

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．

答案 C

1

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f

实数复习学案

类型一．有关概念的识别

1．下面几个数：0.23 ，1.010010001?，，3π，，，其中，无理数的个

数有（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4 举一反三：

【变式1】下列说法中正确的是（ ） A、

的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、

=±1 D、

是5的平方根的相反数

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

A、1 B、1.4 C、 D、

【变式3】

类型二．计算类型题

A. C.

举一反三：

【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）

2．设

，则下列结论正确的是（ ） B. D.

___________，

【变式2】求下列各式中的 （1）

___________，___________.

（2） （3）

1

类型三．数形结合

3. 点A在数轴上表示的数为

，点B在数轴上表示

指数函数

1．指数函数的定义：

函数)1

(≠

>

=a

a

a

y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

2.指数函数的图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=

x

?

?

?

?

?

2

1

，y=x

10，y=

x

?

?

?

?

?

10

1

的图象. 我们观察y=x2，y=

x

?

?

?

?

?

2

1

，y=x

10，y=

x

?

?

?

?

?

10

1

图象特征，就可以得到)1

(≠

>

=a

a

a

y x且的图象和性质。

a>1 0<a<1

图

象

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2246

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4-2246

1

性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1已知函数2

()

f x x bx c

=-+满足(1)(1)

f x f x

+=-，且(0)3

f=，则()x

f b与

()x f c 的大小关系是_____．

分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内．

解：∵(1)(1)f

1.人造地球卫星做半径为r，线速度大小为v的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的为_________，线速度大小为_________。 【解析】由G来的

2

倍后，运动半径4

Mm22?m?r可知，角速度变为原来的倍后，半径变为2r，由v??r可知，角速度变为原24r222

倍后，线速度大小为v。【答案】2r，v 422

2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为

v0假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力

计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为质量为

N0，已知引力常量为G,则这颗行星的

2mvA．

GN4mv B.

GN

2NvC．

Gm4Nv D.

Gm

【解析】卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有

2MmMm//vG2?m，宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m的物体的重为N，则 G2?N，解得RRRmv4M=，B项正确。【答案】B GN

3.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A.太阳对小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期小于一年

C.小行星