割圆术极限证明
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割圆术及极限方法
割圆术及极限方法
第三讲 割圆术及极限方法
实验目的
1.介绍刘徽的割圆术.
2.理解极限概念.
3.学习matlab求函数极限命令。
实验的基本理论及方法
1.割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率.刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积,其次,当将边数屡次加倍时,正多边形的面积增大,边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积. “割之弥细,所失弥少.割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想.
刘徽先将直径为2的圆分割为6等分,再分割成12等分,24等分,...,这样继续下去,并利用勾股定理计算其面积,从而求出圆周率的近似值,他一直计算到圆内接正192边形的面积。
2.斐波那奇数列和黄金分割
,,
3.学习matlab命令.
matlab求极限命令可列表如下:
表2.1
割圆术及极限方法
matlab代数方程求解命令solve调用格式.
Solve(函数
4.理解极限概念.
数列收敛或有极限是指当无限增大时,与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值,就图形而言,也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列
解:输入命令:
>>n=1:100;xn=n./(n+1) 当时的变化趋
割圆术及极限方法
割圆术及极限方法
第三讲 割圆术及极限方法
实验目的
1.介绍刘徽的割圆术.
2.理解极限概念.
3.学习matlab求函数极限命令。
实验的基本理论及方法
1.割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率.刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积,其次,当将边数屡次加倍时,正多边形的面积增大,边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积. “割之弥细,所失弥少.割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想.
刘徽先将直径为2的圆分割为6等分,再分割成12等分,24等分,...,这样继续下去,并利用勾股定理计算其面积,从而求出圆周率的近似值,他一直计算到圆内接正192边形的面积。
2.斐波那奇数列和黄金分割
,,
3.学习matlab命令.
matlab求极限命令可列表如下:
表2.1
割圆术及极限方法
matlab代数方程求解命令solve调用格式.
Solve(函数
4.理解极限概念.
数列收敛或有极限是指当无限增大时,与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值,就图形而言,也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列
解:输入命令:
>>n=1:100;xn=n./(n+1) 当时的变化趋
圆和扇形的割补图形面积
面积拼补
求阴影部分面积
面积差:
等腰直角三角形中AB=10, 甲、乙两部分面积相等, 求扇形所在圆的面积
AD圆内相互垂直的两线段把圆分成四部分则A+C和B+D的面积谁大?B2大多少?1C S1-S2=6.56
求直角梯形ABCD的面积
两圆半径都是2cm,且图中两个阴影部分面积相等 求阴影部分面积差 求AB的长
面积重叠:
阴影部分的面积和标有红的部分的面积谁大?
阴影部分的面积和A的面积谁大
有三个面积都是S的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2S+2,并且重合的两块是等面积的,直线a过两个圆心A、B, 如果直线a下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S的值. B a A
C
五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题,这一讲学习与圆有
关的周长、面积等问题。
圆的面积=πr2,
圆的周长=2πr,
本书中如无特殊说明,圆周率都取π=3.14。
例1 如下图所示,200米赛跑的起点和终点都在直跑道上,中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22
米,那么
圆切线证明的方法
切线证明法
一、要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径.
【例1】如图1,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30o.求证:DC是⊙O的切线.
【例2】如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC.求证:CD是⊙O的切线.
【例3】如图2,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.
【例4】 如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB经过圆心O,连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠B.AC是⊙O的切线吗?为什么?
A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB的延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.求证:DE是⊙O的切线.
【例6】 如图3,AB=AC,OB=OC,⊙O与AB边相切于点D.
【例9】如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交B
圆内计算与证明
圆内计算与证明
1、如图,△ABC内接于⊙O,AD为高,E为弧BC的中点,①求证:∠EAD=∠EAO;
A ②若AB?AC=8,AD=2,求半径R。 O
C B D
E 2
2、如图,△ABC内接于⊙O ,AB=AC,E为BC延长线上一点,求证:AC=AD?AE。
A D O B E C
3、如图,A、B、C、D四点均在⊙O上 ,DC平分其外角∠ACE,DE⊥BE,①求证:DO⊥AB; ②当C点位置变化时,式子
的值是否发生变化?
D E C
O
A B
4、如图,⊙O中, 直径DE⊥弦AB,C为圆上一动点,AC与DE相交于点F,求证:
2
①OG?FG=BG?CG;②AO=OG?OF。
A
C D O G E F
B
5、如图,⊙O中,C为圆上一点,直径BD⊥AC,求证:AE?BE=EF?EC。 A
F E
B G O D
C 6、在边长为4的正方形ABCD中,以AD为直径的⊙O,以C为圆心,CD长为半径作⊙C,两圆交于正方形内一点E,连CE并延长交AB于F. (1)求证CF与⊙O相切; F A D (2)求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比
E
O
B C
o
7、如图,Rt△A
圆与相似 证明题
证 明
1.如图,已知:AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC∥弦AD。求证:DC是⊙O的切线。
2、如图:PA切⊙O于点A,PBC交⊙O于点B、C,M是弧BC的中点,AM交BC于点D。求证:
PD2?PB?PC
3.如图,AB为⊙O的直径,P为BA的延长线上一点,PC切⊙O于点C,CD⊥AB,垂足为D,且PA=4,PC=8,求tan ∠ACD和sin ∠P的值.
4.如图,已知ABCD是圆内接四边形,EB是⊙O的直径,且EB⊥AD,AD与BC的延长线交于F,求证:
ABBC=. FDDC
5.如图,⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧的中点,连结AD并延长,与过
1DPBD2C点的切线交于P,OD与BC相交于点E.(1)求证OE=AC;(2)求证:=;(3)22APAC当AC=6,AB=10时,求切线PC的长.
6.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆分别交BC、AC于D、G,作DE⊥AC于E,连结BE交⊙O于F。
求证:(1)DE为⊙O的切线;(2)DG=DC;(3)AE·EC=BE·EF
7、已知在⊙O中,直径AB为10
圆与相似 证明题
证 明
1.如图,已知:AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC∥弦AD。求证:DC是⊙O的切线。
2、如图:PA切⊙O于点A,PBC交⊙O于点B、C,M是弧BC的中点,AM交BC于点D。求证:
PD2?PB?PC
3.如图,AB为⊙O的直径,P为BA的延长线上一点,PC切⊙O于点C,CD⊥AB,垂足为D,且PA=4,PC=8,求tan ∠ACD和sin ∠P的值.
4.如图,已知ABCD是圆内接四边形,EB是⊙O的直径,且EB⊥AD,AD与BC的延长线交于F,求证:
ABBC=. FDDC
5.如图,⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,点D是劣弧的中点,连结AD并延长,与过
1DPBD2C点的切线交于P,OD与BC相交于点E.(1)求证OE=AC;(2)求证:=;(3)22APAC当AC=6,AB=10时,求切线PC的长.
6.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆分别交BC、AC于D、G,作DE⊥AC于E,连结BE交⊙O于F。
求证:(1)DE为⊙O的切线;(2)DG=DC;(3)AE·EC=BE·EF
7、已知在⊙O中,直径AB为10
中考数学专题突破:证明圆的切线
中考数学专题突破:证明圆的切线
方法一:等角代换(☆☆☆☆☆) 方法二:利用平行线的性质(☆☆) 方法三:证明三角形全等或相似(☆) 方法四:算出角度 方法五:勾股定理
方法一:等角代换(找到与90度相等的角)
【2017山东潍坊22】如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB的延长线于点F,连接DA. (1)求证:EF为半圆O的切线;
【解析】(1)证明:连接OD, ∵D为
的中点,∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO, ∴∠CAD=∠ADO, ∵DE⊥AC,∴∠E=90°,
∴∠CAD+∠EDA=90°,即∠ADO+∠EDA=90°, ∴OD⊥EF,∴EF为半圆O的切线;
【2017山东德州20】如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点,以AC
为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;
【解析】(1)证明:
连接OE、EC,
∵AC是⊙O的直径,∴∠AEC=∠BEC=90°, ∵D为BC的中点,∴ED=DC=BD,∴∠1=∠2, ∵OE=OC,∴∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACB, ∵∠ACB=90°,∴∠OED=90
初三圆的证明专题训练(答案)
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第1页(共32页)
2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷
(扫描二维码可查看试题解析)
一.解答题(共17小题)
1.(2014?辽阳)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB. (1)求证:直线BF是⊙O的切线; (2)若AB=5,sin∠CBF=
,求BC和BF的长.
2.(2014?吉林)如图,四边形OABC是平行四边形,以O为圆心,OA为半径的圆
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2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷
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一.解答题(共17小题)
1.(2014?辽阳)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB. (1)求证:直线BF是⊙O的切线; (2)若AB=5,sin∠CBF=
,求BC和BF的长.
2.(2014?吉林)如图,四边形OABC是平行四边形,以O为圆心,OA为半径的圆