割圆术极限证明

割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法

实验目的

1．介绍刘徽的割圆术．

2．理解极限概念.

3．学习matlab求函数极限命令。

实验的基本理论及方法

1．割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．

刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割

,,

3．学习matlab命令.

matlab求极限命令可列表如下:

表2.1

割圆术及极限方法

matlab代数方程求解命令solve调用格式.

Solve(函数

4．理解极限概念.

数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列

解:输入命令:

>>n=1:100；xn=n./(n+1) 当时的变化趋

割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法

实验目的

1．介绍刘徽的割圆术．

2．理解极限概念.

3．学习matlab求函数极限命令。

实验的基本理论及方法

1．割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．

刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割

,,

3．学习matlab命令.

matlab求极限命令可列表如下:

表2.1

割圆术及极限方法

matlab代数方程求解命令solve调用格式.

Solve(函数

4．理解极限概念.

数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列

解:输入命令:

>>n=1:100；xn=n./(n+1) 当时的变化趋

面积拼补

求阴影部分面积

面积差：

等腰直角三角形中AB=10， 甲、乙两部分面积相等， 求扇形所在圆的面积

AD圆内相互垂直的两线段把圆分成四部分则A+C和B+D的面积谁大？B2大多少？1C S1-S2=6.56

求直角梯形ABCD的面积

两圆半径都是2cm，且图中两个阴影部分面积相等 求阴影部分面积差 求AB的长

面积重叠：

阴影部分的面积和标有红的部分的面积谁大？

阴影部分的面积和A的面积谁大

有三个面积都是S的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2S+2,并且重合的两块是等面积的,直线a过两个圆心A、B, 如果直线a下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S的值. B a A

C

五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有

关的周长、面积等问题。

圆的面积=πr2，

圆的周长=2πr，

本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。

例1 如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22

米，那么

切线证明法

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交B

圆内计算与证明

1、如图，△ABC内接于⊙O，AD为高，E为弧BC的中点，①求证：∠EAD＝∠EAO；

A ②若AB?AC＝8,AD＝2,求半径R。 O

C B D

E 2

2、如图，△ABC内接于⊙O ，AB＝AC，E为BC延长线上一点，求证：AC＝AD?AE。

A D O B E C

3、如图，A、B、C、D四点均在⊙O上 ，DC平分其外角∠ACE，DE⊥BE，①求证：DO⊥AB； ②当C点位置变化时，式子

的值是否发生变化？

D E C

O

A B

4、如图，⊙O中， 直径DE⊥弦AB，C为圆上一动点，AC与DE相交于点F，求证：

2

①OG?FG＝BG?CG；②AO＝OG?OF。

A

C D O G E F

B

5、如图，⊙O中，C为圆上一点，直径BD⊥AC，求证：AE?BE＝EF?EC。 A

F E

B G O D

C 6、在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F. （1）求证CF与⊙O相切； F A D （2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比

E

O

B C

o

7、如图，Rt△A

证 明

1.如图，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥弦AD。求证：DC是⊙O的切线。

2、如图：PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于点B、C，M是弧BC的中点，AM交BC于点D。求证：

PD2?PB?PC

3.如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan ∠ACD和sin ∠P的值．

4.如图，已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证：

ABBC＝． FDDC

5．如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过

1DPBD2C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证OE＝AC；（2）求证：＝；（3）22APAC当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆分别交BC、AC于D、G，作DE⊥AC于E，连结BE交⊙O于F。

求证：（1）DE为⊙O的切线；（2）DG=DC；（3）AE·EC=BE·EF

7、已知在⊙O中，直径AB为10

证 明

1.如图，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥弦AD。求证：DC是⊙O的切线。

2、如图：PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于点B、C，M是弧BC的中点，AM交BC于点D。求证：

PD2?PB?PC

3.如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan ∠ACD和sin ∠P的值．

4.如图，已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证：

ABBC＝． FDDC

5．如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过

1DPBD2C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证OE＝AC；（2）求证：＝；（3）22APAC当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆分别交BC、AC于D、G，作DE⊥AC于E，连结BE交⊙O于F。

求证：（1）DE为⊙O的切线；（2）DG=DC；（3）AE·EC=BE·EF

7、已知在⊙O中，直径AB为10

中考数学专题突破：证明圆的切线

方法一：等角代换（☆☆☆☆☆） 方法二：利用平行线的性质（☆☆） 方法三：证明三角形全等或相似（☆） 方法四：算出角度 方法五：勾股定理

方法一：等角代换（找到与90度相等的角）

【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线；

【解析】（1）证明：连接OD， ∵D为

的中点，∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC，∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；

【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC

为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：

连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2， ∵OE=OC，∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB， ∵∠ACB=90°，∴∠OED=90

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第1页（共32页）

2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷

(扫描二维码可查看试题解析)

一．解答题（共17小题）

1．（2014?辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

2．（2014?吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆

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一．解答题（共17小题）

1．（2014?辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

2．（2014?吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆