数学分析选讲刘三阳课后答案

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

第一讲 习题解答

习题1-1

1 计算下列极限

p

1

① limn 1 1 , p 0

n n

解：原式=lim

1

n

1

1 1 n

limn 1n

p

1 p

1 0pp

1 x 1 0 n p lim 1 x n 01x 0

0n

p

p

x 0

② lim

sinx sinasin x a

x a

解：原式=lim

sinx sina

x a

x a

x a sin x a

lim

sinx sina

x a

x a

= sinx

x a

cosa

③

lim

x 1，m,n为自然数

解：原式

=lim

1x 1

x 1

x 1

x 1

1

nm

④

lim2 1

n

n

,a 0

1 ln2 an 1 lim

1n

解：原式 lime

n

nln1

eln2a 1

e

ln 2a 1

x

n

ex 0

lim

x

x

x0ln2a 1 ln2a 1

=e

lim

x 0

x

e

x 0

e

2lna

a

2

⑤ lim

x a

a xx a

xa

,a 0

x

a

a

a

x

a

a

a

解：原式=lim

x a

a a a x

x a

xa

a

lim

a ax a

x a

lim

x ax a

x a

a

x

x a

x

a

x a

a

a

lna 1

数学分析选讲刘三阳 部分习题解答

第一讲 习题解答

习题1-1

1 计算下列极限

p

1

① limn 1 1 , p 0

n n

解：原式=lim

1

n

1

1 1 n

limn 1n

p

1 p

1 0pp

1 x 1 0 n p lim 1 x n 01x 0

0n

p

p

x 0

② lim

sinx sinasin x a

x a

解：原式=lim

sinx sina

x a

x a

x a sin x a

lim

sinx sina

x a

x a

= sinx

x a

cosa

③

lim

x 1，m,n为自然数

解：原式

=lim

1x 1

x 1

x 1

x 1

1

nm

④

lim2 1

n

n

,a 0

1 ln2 an 1 lim

1n

解：原式 lime

n

nln1

eln2a 1

e

ln 2a 1

x

n

ex 0

lim

x

x

x0ln2a 1 ln2a 1

=e

lim

x 0

x

e

x 0

e

2lna

a

2

⑤ lim

x a

a xx a

xa

,a 0

x

a

a

a

x

a

a

a

解：原式=lim

x a

a a a x

x a

xa

a

lim

a ax a

x a

lim

x ax a

x a

a

x

x a

x

a

x a

a

a

lna 1

数学分析选讲

刘三阳 于力 李广民 遍

习题2—1

1、若自然数n不是完全平方数，证明n是无理数。 证明：若n不是无理数，设n?pp,q?N,且p,q互质?，于是 ?qnq2pp?nq??p?p2

pnq22而

?p,q互质??，故p不整除q?p整除n，记n?pss?N?p???n，故sn222?nq?n?qs，即n为完全平方数，矛盾。假设不成立。 ??s22、设a,b是两个不同的实数，证明a,b之间一定存在有理数。 证明：不妨设a?b，则存在m?N，使得

?m?1?m?b?a??1?mb?ma?1 b?a又因为存在整数n，使得n?1?ma?n

?ma?n?ma?1nn由??ma?n?mb?a??b,m?N?,n?Z，是有理数。

mm?ma?1?mb3、设x为无理数，证明存在无穷多个有理数

pp1?p,q?Z,q?0?，使得x??2， qqq证明：假设只有n个有理数满足x?p1?2，设为a1,a2???an,其中ai?i?1,2???n?为有理qqai?1?aia?a?ai，而i?1i为有理数，22数

数学分析选讲

刘三阳 于力 李广民 遍

习题2—1

1、若自然数n不是完全平方数，证明n是无理数。 证明：若n不是无理数，设n?pp,q?N,且p,q互质?，于是 ?qnq2pp?nq??p?p2

pnq22而

?p,q互质??，故p不整除q?p整除n，记n?pss?N?p???n，故sn222?nq?n?qs，即n为完全平方数，矛盾。假设不成立。 ??s22、设a,b是两个不同的实数，证明a,b之间一定存在有理数。 证明：不妨设a?b，则存在m?N，使得

?m?1?m?b?a??1?mb?ma?1 b?a又因为存在整数n，使得n?1?ma?n

?ma?n?ma?1nn由??ma?n?mb?a??b,m?N?,n?Z，是有理数。

mm?ma?1?mb3、设x为无理数，证明存在无穷多个有理数

pp1?p,q?Z,q?0?，使得x??2， qqq证明：假设只有n个有理数满足x?p1?2，设为a1,a2???an,其中ai?i?1,2???n?为有理qqai?1?aia?a?ai，而i?1i为有理数，22数

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准

一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

111. 求函数f(x,y)?3xsin?3ysin在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

yx11解： f(x,y)?3xsin?3ysin?3x?3y，因此二重极限为0.……(4分)

yx1111因为lim3xsin?3ysin与lim3xsin?3ysin均不存在，

x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。 ……(9分)

?z?xf(x?y),?y?y(x),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和F分别

F(x,y,z)?0z?z(x)??dz具有连续的导数和偏导数,求.

dx解： 对两方程分别关于x求偏导:

dy?dz?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)， ??dxdx? ……(4分)

dydz?F?F?Fz?0。 xy?dxdx?dzFy?f(x?y)?xf?(x?y)(Fy?Fx)?解此方程组并整理得. ……(9分) dxFy?xf?(x?y)Fz

3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?,

数学分析

《数学分析选讲》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与要求

《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。

教学时间应安排在第五学期或第六学期。这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。

第二部分：教材与学习参考书

本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：

1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，1999

2、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992

第三部分：教学内容纲要和课时安排

第一章 一元函数的极限

复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和

数学分析

《数学分析选讲》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与要求

《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。

教学时间应安排在第五学期或第六学期。这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。

第二部分：教材与学习参考书

本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：

1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，1999

2、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992

第三部分：教学内容纲要和课时安排

第一章 一元函数的极限

复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和

《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业

一、判断下列命题的正误

1. 设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确 （正

确） 2. 收敛数列必有界. (正确)

3. 设数列{an}与{bn}都发散，则数列{an?bn}一定发散. (错误) 4．若S为无上界的数集,则S中存在一递增数列趋于正无穷. (正确) 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确)

二、选择题

1．设f(x)???x?2,x?1, 则 f[f(1)]?(

3?x,x?1? A ) .

A ?3 ； B ?1 ； C 0 ； D 2

2．“对任意给定的??(0,1)，总存在正整数N，当n?N时，恒有|xn?a|?2?2”是数列

{xn}收敛于a的（ A ）.

A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件；

C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件

3．若数列{xn}有极限a,则在a的?(?0)邻域之外，数列中的点（

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?