基本不等式高中数学

基本不等式

【知识梳理】

1．重要不等式

当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式

a＋b

（1）有关概念：当a，b均为正数时，把2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．

（2）不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算a＋b

术平均数，即ab≤2，当且仅当a＝b时，等号成立．

?a＋b?2

?，a＋b≥2 ab(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等(3)变形：ab≤?

?2?号成立)． 【常考题型】

题型一、利用基本不等式证明不等式

【例1】 已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. [证明] 由基本不等式可得： a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理：b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2，

∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 【类题通法】

1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．

。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 §5不等式的应用

[对应学生用书P24]

利用不等式解决实际问题中的大小问题 [例1] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，甲、乙二人谁先到达指定地点？

[思路点拨] 本题考查比较法在实际问题中的应用，考查应用意识及运算求解能力． [精解详析] 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：

t1

t1ssm＋n＝s，＋＝t2. 222m2n2ssm＋n，t2＝， m＋n2mn2ssm＋n－ m＋n2mn2

∴t1＝

∴t1－t2＝

s[4mn－m＋n＝

2mnm＋n]sm－n＝－. 2mnm＋n2

其中s，m，n都是正数，且m≠n， ∴t1－t2<0，即t1

从而知甲比乙先到达指定地点．

对于实际问题中的大小、优秀、强弱等比较问题，通常需阅读理解，建立式子的大小比较模型，然后用求差比较法或求商比较法或直接用平均值、不等式等比较出大小关系，从而使问题得解．

1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

x?11

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

x?11

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一. 教材分析

1、教材地位和作用

本节是选自人教社普通高中课程实验标准 数学（必修5）《不等式》一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。

“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值是高考的热点。它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标 A．知识目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的

不等号“≥”取等号的条件.

B．能力目标：通过实例探究基本不等式；

C．情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

3、教学重点、难点： a?b重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?的证明过程；

2a?b难点：用基本不等式求最大最小值，

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第2课时 基本不等式的应用

课后篇巩固探究

A组

1.函数f(x)=x+-1的值域是()

A.(-∞,-3]∪[5,+∞)

B.[3,+∞)

C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞)

解析当x>0时,x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x<0

时,x+-1=--1≤-5,当且仅当x=-2时,取等号.所以函数的值域为(-∞,-5]

∪[3,+∞). 答案C 2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=()

A.1+B.1+ C.3D.4

解析f(x)=x+=x-2+

+2.∵x>2,∴x-2>0. ∴f(x)=x-2++2≥2+2=4,

当且仅当x-2=,

即x=3时,等号成立. 又f(x)在x=a处取最小值,

∴a=3. 答案C3.周长为4+2的直角三角形的面积的最大值是()

A.2B.1C.4D.

,于是依题意有a+b+解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为基本不等式知a+b+=4+2.由

=4+2≥2,即≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,取等

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号.故三角形的面积S=ab≤2.1

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答案A4.若x

2020年高中数学必修5《基本不等式》精品教案精编版

精品好文档，推荐学习交流

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 课题： 基本不等式：2b a ab +≤（第一课时）

教材：人教版高中课程标准实验教科书《数学·必修5》第三章第四节

1 教材分析

本节书介绍了两个不等式定理：（1）、如果R b R a ∈∈,，那么ab b a 222≥+①；（2）、如果0,0>>b a ，那么2

b a ab +≤②。这两个定理是解决一些数学问题和实际应用问题的重要的数学方法。本节书教学共需3课时，这是第一课时，主要是了解探索基本不等式的证明过程，熟悉基本不等式的结构，为下节基本不等式的应用做准备（以下用①②代替两个定理）。

2 学生分析

有了前面“不等式性质”的学习，学生要理解这两个定理难度并不大。针对学生求知欲旺盛的特点，在教学中，以思考、探索、讨论为主要方法，适当加以讲解，使学生自己收获结论、总结方法，动手解决实际问题，并且增强学习数学的的信心。

3 教学策略

（1）、以“孔融选蛋糕”为例引入，课件辅助，引导学生探究①的证明，并总结证明方法；利用正方形和弦图让学生了解①的几何意义，同时介绍“国际数学家大会”，培养学生的民族自豪感和使命感。

（2）、利用①式，通过

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第2课时 基本不等式的应用

课后篇巩固探究

A组

1.函数f(x)=x+-1的值域是()

A.(-∞,-3]∪[5,+∞)

B.[3,+∞)

C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞)

解析当x>0时,x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x<0

时,x+-1=--1≤-5,当且仅当x=-2时,取等号.所以函数的值域为(-∞,-5]

∪[3,+∞). 答案C 2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=()

A.1+B.1+ C.3D.4

解析f(x)=x+=x-2+

+2.∵x>2,∴x-2>0. ∴f(x)=x-2++2≥2+2=4,

当且仅当x-2=,

即x=3时,等号成立. 又f(x)在x=a处取最小值,

∴a=3. 答案C3.周长为4+2的直角三角形的面积的最大值是()

A.2B.1C.4D.

,于是依题意有a+b+解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为基本不等式知a+b+=4+2.由

=4+2≥2,即≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,取等

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号.故三角形的面积S=ab≤2.1

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答案A4.若x

第（1）课时

课题：书法---写字基本知识 课型：新授课

教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。2、了解我国书法发展的历史。3、掌握基本笔画的书写特点。 重点：基本笔画的书写。 难点：运笔的技法。 教学过程：

一、了解书法的发展史及字体的分类： 1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。 二、讲解书写的基本知识和要求：

1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）

2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。 三、基本笔画书写

1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。2、教师边书写边讲解。3、学生练习，教师指导。（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。5、学生练习，教师指导。（发现问题及时指正） 四、作业：完成一张基本笔画的练习。

篇一：获奖说课稿-基本不等式

《基本不等式》说课稿

各位评委老师，大家好，我说课的题目是《基本不等式》，本节课选自人教A版数学

必修5第三章第四节第一课时，我将从以下五个方面阐述我对这节课的设计： 一、教材分析

作为高中阶段必修的最后一部分内容，基本不等式具有丰富的实际背景．不但可以用来求某些函数的最值，同时也是证明不等式的理论依据，是高考考查的重点内容之一. 二、目标分析

教学目标：（1）探索基本不等式的证明过程；

（2）应用基本不等式解决简单最大（小）值问题

依据教学目标确定如下的重点、难点

重点: 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

难点:利用基本不等式求最大值和最小值。 三、教学设计

1.引用2002年北京国际数学家大会会标并介绍弦图背景资料 设计意图：激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性

探究1：图中有哪些相等关系和不等关系？

正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=_,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=＿

从图形中易得，s>s’,即 a?b?2ab

问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？（学