离散数学布尔代数的定义

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第七章 格与布尔代数布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的， 布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的， 格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集 回顾一下偏序集。 格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集。 是偏序集 是A上自反 反对称和传递关系 是偏序集:≤是 上自反 反对称和传递关系(偏序). 上自反,反对称和传递关系 是偏序集 偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来 图反映出来. 偏序集中的元素间的次序可以通过它的 图反映出来 例如A={1,2,3,6,12,24,36}, ≤是A上整除关系 24。 36。 例如 是 上整除关系 图如图所示， 其Hasse图如图所示，B A B≠Φ 图如图所示 12。 1.B的极小元与极大元 的极小元与极大元 6。 y是B的极小元 ∈B∧¬ ∈B∧x≤y) 的极小元 是 的极小元 y∈ ∧¬ x(x∈ ∧ 2。 3。 y是B的极大元 ∈B∧¬ ∈B∧y≤x) 的极大元 是 的极大元 y∈ ∧¬ x(x∈ ∧ 1。 例如{2,3,6}

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第七章 格与布尔代数布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的， 布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的， 格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集 回顾一下偏序集。 格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集。 是偏序集 是A上自反 反对称和传递关系 是偏序集:≤是 上自反 反对称和传递关系(偏序). 上自反,反对称和传递关系 是偏序集 偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来 图反映出来. 偏序集中的元素间的次序可以通过它的 图反映出来 例如A={1,2,3,6,12,24,36}, ≤是A上整除关系 24。 36。 例如 是 上整除关系 图如图所示， 其Hasse图如图所示，B A B≠Φ 图如图所示 12。 1.B的极小元与极大元 的极小元与极大元 6。 y是B的极小元 ∈B∧¬ ∈B∧x≤y) 的极小元 是 的极小元 y∈ ∧¬ x(x∈ ∧ 2。 3。 y是B的极大元 ∈B∧¬ ∈B∧y≤x) 的极大元 是 的极大元 y∈ ∧¬ x(x∈ ∧ 1。 例如{2,3,6}

离散数学定义定理

1.3.1命题演算的合式公式规定为： （1）单个命题变元本身是一个合式公式。 （2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。

（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A?B）、都是合式公式。 （4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。

1.3.2 设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。

1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。 含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。

1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。

1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。 1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下

离散数学定义定理

1.3.1命题演算的合式公式规定为： （1）单个命题变元本身是一个合式公式。 （2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。

（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A?B）、都是合式公式。 （4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。

1.3.2 设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。

1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。 含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。

1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。

1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。 1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下

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第五章 代数系统基础以前学过许多代数： 初等代数、高等代数(线性代数)、集合代数、命题代数等等 它们研究的对象分别是整数、有理数、实数、矩阵、集合、 命题等等，以及这些对象上的各种运算。 我们发现不同对象上的运算，可能有共同的性质。例如， 集合代数与命题代数，尽管研究的对象不同，但是它们的 性质完全一样，都有对合律、交换律、结合律、分配律、 吸收律、底-摩根定律、同一律、零律、互补律等。 这些促使我们将代数的研究引导到更高的层次—即抛开具体 对象的代数—抽象代数—研究代数的共性。

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代数系统基础就专业知识而言，计算机学科中要培养学生三个能力： 理论 抽象 设计 理论：就是计算机科学中各种理论课。 抽象：要把实际问题抽象成数学模型(数学系统)。 设计：系统设计、程序设计。 确定数学模型，需要了解有哪些代数结构(系统)。

另外，抽象代数可以培养学生的抽象逻辑思维能力。本章主要讨论：代数结构(系统)的概念，运算的性质、代数 结构(系统)的同构、半群、独异点、群、环、域等。

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代数系统基础 代数系统的定义：X是非空集合，X上的m个运算f1, f2,…fm, 构成代数系统U,记作U= 。 定义：如果两个代数系统有

《离散数学》复习资料 2014年12月

一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( A )．

A． A?B，且A?B B．B?A，且A?B C．A?B，且A?B D．A?B，且A?B 2．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是 ( D )．

图一 A．（a）是强连通的 B．（b）是强连通的

C．（c）是强连通的 D．（d）是强连通的 3．设图G的邻接矩阵为

?01100??10011???

?10000???01001????01010??则G的边数为( B )．

A．6 B．5 C．4 D．3

4．无向简单图G是棵树，当且仅当( A )．

A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1 C．G的边数比结点数少1 D．G中没有回路． 5．下列公式 ( C

离散数学标准化作业纸 专业班级 学号 姓名 第一章 命题逻辑的基本概念

一、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化 （1）中国有四大发明。 （2）2是有理数。 （3）“请进！”

（4）刘红和魏新是同学。 （5）a+b

（6）你去图书馆吗？

（7）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。

（8）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》） （9）火星上有生命。 （10）这朵玫瑰花多美丽啊！

二、将下列命题符号化，其中p:2<1,q:3<2 （1）只要2<1，就有3<2。 （2）如果2<1，则3?2。 （3）只有2<1，才有3?2。 （4）除非2<1，才有3?2。 （5）除非2<1，否则3?2。 （6）2<1仅当3<2。 三、将下列命题符号化

(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。 (2)王栋生于1992年或1993年。

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离散数学标准化作业纸 专业班级 学号 姓名 四、设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) （2）（p?r）

第一讲 引言

一、课程内容

·数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计等课程是极有用处的。 ·集合论：数学的基础，对于学习程序设计、数据结构、编译原理等几乎所有计算机专业课程和数学课程都很有用处。熟练掌握有关集合、函数、关系等基本概念。 ·代数结构：对于抽象数据类型、形式语义的研究很有用处。培养数学思维，将以前学过的知识系统化、形式化和抽象化。熟练掌握有关代数系统的基本概念，以及群、环、域等代数结构的基本知识。 ·图论：对于解决许多实际问题很有用处，对于学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。要求掌握有关图、树的基本概念，以及如何将图论用于实际问题的解决，并培养其使用数学工具建立模型的思维方式。 ·讲课时间为两个学期，第一学期讲授数理逻辑与集合论，第二学期讲授代数结构和图论。考试内容限于书中的内容和难度，但讲课内容不限于书中的内容和难度。

二、数理逻辑发展史

1. 目的

·了解有关的背景，加深对计算机学科的全面了解，特别是理论方面的了解，而不限于将计算机看成是一门技术或工程性的学科。 ·通过重要的历史事件，了解计算机科学中的一些基本思维方式和一些基本问题。

2. 数理

《离散数学》练习

福建农林大学东方学院

2009 ——2010 学年第一学期

第一篇 数理逻辑

一、填空题及单项选择题：

1、设解释I为：客体城D?{2,3}，

a2b,3f(2)3f(3),2P(2,2)1P(2,3)1P(3,2)0P(3,3) 0则P(a,f(a))?P(b,f(b))? ，?x?yP(x,y) 。

2、公式G?(P?(?Q?R))?Q的主析取范式为 。 3、下列命题等值式正确的是 【 】 （A）P?Q?(P?Q)?(Q?P)；

P?Q?(P?Q)?(P??Q)；（B）

（C）P?Q??Q??P； （D）P?Q?P??Q.

4、设命题公式G?(Q?P)?(?P?Q)，则G是 【 】 （A）可满足的； （B）永真的； （C）永假的； （D）析取范式

5、前提?xP(x)与?x(P(x)?Q(x))的有效结论是 【 】

命题演算

? 命题（真值确定但不一定要知道真假，比如“存在外星人”是一个命题，它的真值确定，即使我们不知道真值）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

原始命题/原子命题 复合命题 逻辑连接词 否定/┐ 合取/∧ 析取/∨

条件/→（┐P∨Q）

双条件（不好意思，双向箭头字符未找到，(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)） 真值表 命题公式/公式 命题变元 命题演算

等价（自反性、对称性、传递性，等价变换法俗称“少林派”） 结合律 交换律 分配律

德·摩根律/反演律 双重否定率 代换

蕴含（自反性、反对称性、传递性，蕴含推理法俗称“武当派”，传递法俗称“隔山打牛”） 对偶法则 对偶

不可兼析取（析取符上加一横，异或） 逆条件（条件符上加字母c） 与非/↑ 或非/↓

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

结合力（ ⑴┐⑵∧⑶∨、不可兼析取、↑、↓⑷→、逆条件⑸双条件 ） 析取范式 合取范式

主析取范式（∑=m∨…） 主合取范式（∏=M∧…） 直接推演 P规则 T规则

CP规则（俗称“北冥神功”） 间接推演/间接证明/反