一元二次不等式的性质

不等式第二讲：一元二次不等式

一、一元二次不等式的解法

判别式??b?4ac 方程2??0 有两个不等实根 ??0 有两个相等实根 ??0 无实根 f(x)?ax2?bx?c?0 二次函数 y y y y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 不等式O x1 x2 x O x1?x2x O x ax?bx?c?0(a?0) 的解集 不等式ax?bx?c?0 22?x|x?x1或x?x2? ?b?xx???? 2a??R (a?0)的解集 二、总结规律： ?x|x1?x?x2? ? ? 1、方程f(x)?0的实根是函数y?f(x)的图像与x轴的交点，也是函数y?f(x)的零点。 2、方程f(x)?0的根就是不等式解集的端点，不等式解集的端点就是方程f(x)?0的根。 3、不等式大于0的解集就是方程的根之外，小于0就是方程的两根之间；（大于取两根之外，小于取两根之间）（开口向上，即二次系数大于0）

?a?04、①不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?；

??0?2②不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?2?a?0

???05、如果函数y?f(x)在区间?a,b?上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)?f(b)?0，那么函数y

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课时达标检测（三十一） 不等式的性质及一元二次不等式

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 不等式的性质

a＋macc1

1．(2018·安徽合肥质检)下列三个不等式：①x＋x≥2(x≠0)；②ab>c>0)；③>

b＋mb(a，b，m>0且a

A．3 C．1

B．2 D．0

cc11

解析：选B 当x<0时，①不成立；由a>b>c>0得a

－＝，由a，b，m>0且a0恒成立，故③恒成立，所以选B. b＋mbb?b＋m?b＋mb

2．若a>b>0，cbd C．ad

B．acbc

解析：选B 根据c－d>0，由于a>b>0，故－ac>－bd，ac

A．若a<1，b<，则a>b

21

B．若a<1，b<，则a

21C．若a>1，b>，则a>b

21

D．若a>1，b>，则a

2

13

b－?2＋，对于A，取a＝－1，b＝0，a>b解析：选D 由题意知，a2＝b2－b＋1＝??2?4不成立；对于B，取a＝

571

，b＝，ab不成立；88

1

对于D，若a>1，则b2－b>0，又b>，得b>1,1－b<0，所以a2＝b2－b＋1

2选D.

14．若0

2A．a C．2ab

1B． 2D．a2＋b2

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2

1212?a＋b?解析：选D 因为0＝，2ab＝2a(1－a)222

1111

a－?2＋<，所以a，，2ab，a2＋b2中最大的数为a2＋b2. ＝－2??2?222

5．(2018·山西康

一元二次不等式及其解法

一、学习目标

1．熟练掌握一元二次不等式的解法及其应用．

2．理解二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

二、基础知识

1

．

一

元

二

次

不

等

式

的

定

义： ． 2、二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

3．指数、对数型不等式常使用

三、基础检测

1．不等式(x 2)(x 3) 0的解集是 ．

2

2．不等式4x 12x 9 0的解集是．

3．函数y 4．不等式

4x x2 9的定义域是 ．

x 1

0的解集是 ． x 2

5． 不等式(x2 4x 5)(x2 4) 0的解集是 6．函数y lg(x2 3x 2)的定义域是 7．若点P(四、例题

【例1】解下列不等式

(1) x2 2x 3 0;(2)x2 x 1 0;(3)x2 x 30 0;(4)4x(1 x) 1 0．

【例2】解关于x的不等式x2 2ax 3a2 0．

变式：解关于x的不等式2x2 ax 2 0．

【例3】．解不等式

2

【例4】． 解关于x的不

一元二次不等式及其解法

一、学习目标

1．熟练掌握一元二次不等式的解法及其应用．

2．理解二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

二、基础知识

1

．

一

元

二

次

不

等

式

的

定

义： ． 2、二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

3．指数、对数型不等式常使用

三、基础检测

1．不等式(x 2)(x 3) 0的解集是 ．

2

2．不等式4x 12x 9 0的解集是．

3．函数y 4．不等式

4x x2 9的定义域是 ．

x 1

0的解集是 ． x 2

5． 不等式(x2 4x 5)(x2 4) 0的解集是 6．函数y lg(x2 3x 2)的定义域是 7．若点P(四、例题

【例1】解下列不等式

(1) x2 2x 3 0;(2)x2 x 1 0;(3)x2 x 30 0;(4)4x(1 x) 1 0．

【例2】解关于x的不等式x2 2ax 3a2 0．

变式：解关于x的不等式2x2 ax 2 0．

【例3】．解不等式

2

【例4】． 解关于x的不

10不等关系与一元二次不等式

【知识网络】

1、求解或判别不等关系式，利用性质进行比较大小；

2、求解一元二次不等式；

3、不等关系或一元二次不等式的解法的简单应用。 【典型例题】

例1：（1）已知a>b>c>0,若P=

b?ca?c,Q=,则 （ ）

ba1,Q=1,PQ D.P

11??0，则下列不等式 ①a?b?ab；②|a|?|b|;③a?b；④ ab

（ ）

ba??2 中，正确的不等式有 ab

A．０个 B．１个 C．2个 D．３个 答案：Ｃ．解析： ①正确,②错误,③错误,④正确．也可用特殊值检验。

（3）若loga2＜logb2＜0，则 （ ）

A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C． a＞b＞1

答案:B。解析：显然0

D． b＞a＞1

11??0,?0?log2a?log2b,?1?a?b?0。

log2alog2bx?3?x的解集是 ． x

一元二次不等式的解法练习设计

一、选择题

1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.{x|-23≤x≤12} B.{x|x≤-23或x≥12} C.{x|x≥12} D.{x|x≤-23} 2.如果不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为?,那么( )

A.a<0,Δ>0 B.a<0,Δ≤0 C.a>0,Δ≤0 D.a>0,Δ≥0

3.函数y=x2?x?12的定义域是( ) （定义域表示求自变量x的取值范围）A.{x|x<-4或x>3} B.{x|-4

5.对于任意实数x不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.-1≤a≤0 B.-1≤a＜0 C.-1＜a≤0 D.-1

6.设集合M={x|0≤x＜2,集合N={x|x2-2x-3

7.已知函数y=ax2?2x?3,x的变化范围是全体实数,则实数a的取值范围是( A.a>0 B.a≥

13C.a≤1D.0＜a≤13 3 二、非选择题（解答题做在背面） 8.若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-

120恒成立,则k的取值范围是______.

10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集是B. (1)求A∩B; (2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,求ax2+x+b<0的解集.

用心 爱心 专心

)

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含参数的一元二次不等式

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复习引入 一元二次方程、 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等 式的相互关系及其解法： 式的相互关系及其解法： = b 2 4 ac二次函数

>0y0 x1

=0y

<0yx

y = ax2 +bx+c(a > 0)的图像 一元二次方程

x2 x

0x1 = x 2

0x无实根

ax +bx+c = 0(a > 0)2

b b2 4ac x1 = 2a b + b2 4ac x2 = 2a1 2

有两个相等实根

的根

b x1 = x2 = 2a

ax2 + bx+ c > 0(a > 0)的解集

{x x < x 或x > x } x x ∈ R且 x ≠ 2ba

x∈ Rφ

ax2 +bx+c < 0(a > 0)的解集

{x x < x < x }1 2

φ

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复习引入

解一元二次不等式的一般步骤1:确定二次项系数的符号 ： 2:判别△(能十字相乘法的不需判别) :判别△ 能十字相乘法的不需判别) 3:由1;2两个步骤画出不等式所对应函 ： ; 两个步骤画出不等式所对应函 数的大致图

教材： 绝对值不等式与一元二次不等式练习课

目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。 过程：

一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习。 二、例题：

例1、解不等式 2?1?3?5x3?5x?2和② 1???2 4497解①：x?? 解②： x?

557979∴原不等式的解集是{x|x?? }∪{x|x?}={x|x??或x?}

55552?5x15?? 例2、解不等式 34652?5x15解：原不等式可化为：???? ??10??20x?11?10

6346121121 ∴ ∴原不等式的解集是{x| } ?x??x?202020203?5x4

解：原不等式可化为：① 1?

5?2?5x1????46（略） 或解：原不等式化为 ?32?5x15???346?例3、解关于x的不等式 2x?3?1?a (a?R)

解：原不等式可化为：2x?3?a?1

当 a+1>0 即a>?1时 ?(a+1)<2x+3?1时 原不等式的解集是 {x|?当a≤?1时 解集为?

例4、解不等式 2?1?4x?7

解一：原不等式可化为：2?4x?1?7

13?x??或x??4x?1?2?44 ??3?x??1或3?x?2 ? ???3244????x?

教材： 绝对值不等式与一元二次不等式练习课

目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法。 过程：

一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习。 二、例题：

例1、解不等式 2?1?3?5x3?5x?2和② 1???2 4497解①：x?? 解②： x?

557979∴原不等式的解集是{x|x?? }∪{x|x?}={x|x??或x?}

55552?5x15?? 例2、解不等式 34652?5x15解：原不等式可化为：???? ??10??20x?11?10

6346121121 ∴ ∴原不等式的解集是{x| } ?x??x?202020203?5x4

解：原不等式可化为：① 1?

5?2?5x1????46（略） 或解：原不等式化为 ?32?5x15???346?例3、解关于x的不等式 2x?3?1?a (a?R)

解：原不等式可化为：2x?3?a?1

当 a+1>0 即a>?1时 ?(a+1)<2x+3?1时 原不等式的解集是 {x|?当a≤?1时 解集为?

例4、解不等式 2?1?4x?7

解一：原不等式可化为：2?4x?1?7

13?x??或x??4x?1?2?44 ??3?x??1或3?x?2 ? ???3244????x?

3.2一元二次不等式及其解法

【学习目标】

1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系； 3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】

要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：x2?5x?0.一元二次不等式的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0).

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为xx21、2且x1?x2，则不等式ax?bx?c?0的解集为

?xx?x21或x?x2?，不等式ax?bx?c?0的解集为?xx1?x?x2?

要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(a?0)成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为x21、x2且x1?x2，设??b?4ac，它的解按照

??0，??0，??0可分三种情况，相应地，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像与x轴的位置关系也

分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)或ax2