正余弦定理应用举例教学反思

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1.2 正余弦定理应用举例

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复习、请回答下列问题：

(1)解斜三角形的主要理论依据 是什么？(2)关于解三角形，应该掌握了 哪几种类型？

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复习. 下列解三角形问题, 分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？

余弦定理先求出A,或先求出B,C (1)a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ; (2)b=1,c= 2 ,A=105º_________________________________ ;余弦定理先求出a

正弦定理先求出b (3)A=45º =60º a=10; ,B , ________________________________(4)a=2 3 ,b=6,A=30º ________________________________ o) . 正弦定理先求出B(60o或120

无解 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________

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正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用 :(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.

包含不可达到的点

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要测量不可到达的两点

第8章 第8讲 正、余弦定理应用举例

一、选择题

1．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高( )

A．20(1＋

33

) m B．20(1＋) m C．20(1＋3) m D．30 m 32

2．已知两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )

A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10°

3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处则这船航行的速度为( )

176172

A.海里/小时 B．346海里/小时 C.海里/小时 D．342海里/小时

224．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )

A．200 m B．300 m C．400 m D．100

第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例

【2013年高考会这样考】

考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 【复习指导】

1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．

2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力．

基础梳理

1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．

(2)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．

一个步骤

解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的

关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问

人教版必修五《1.2应用举例》教学设计 云南师范大学实验中学 寸圣甫 一、教材分析

本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。 二、教学目标设置

根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标 ： 知识与技能：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义

②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，

过程与方法：①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用

情感、态度、价值观：①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值 ②培养学

正余弦定理的应用

复习

正弦定理：

a b c sin A sin B sin C

余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA b2= a2+c2-2accosB c2 =a2+ b2-2abcosC

余弦定理的推论：b +c -a cos A 2bc 2 2 2 c +a -b cos B 2ca 2 2 2 a +b -c cos C 2ab2 2 2

应用一：测量距离例1 如图1.2-1 设A、B 两点在河的两岸，要测量 两点之间的距离. 测量者在 A的同侧，在所在的河岸 边选定一点C,测出AC的 510 距离是55 m, ∠BAC=510, A ∠ACB=750.求A、B两点间 的距离.(精确到0.1 m)

B

750

C

解：根据正弦定理，得AB AC , sin C sin B

AC sin C 55sin C AB sin B sin B55sin 750 sin(1800 - 510 - 750 )55sin 750 65.7(m) 0 sin 54

答：A、B两点间的距离为65.7米

例2 如图1.2-2 设A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A、B两点间 距离的方法.A B

D

δ

γ

β α

C

一．解答题（共10小题） 1．已知

的离心率为

，直线l：x﹣y=0与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为

半径的圆相切，曲线C2以x轴为对称轴． （1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，曲线C2上任意一点M到l1距离与MF2相等，求曲线C2的方程． （3）若A（x1，2），C（x0，y0），是C2上不同的点，且AB⊥BC，求y0的取值范围．

2．如图，设F是椭圆：

（a＞b＞0）的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段

MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM=∠BFN； （3）（理）求三角形ABF面积的最大值．

3．已知椭圆

的离心率为

，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x

﹣y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1?k2为定值； （Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若

4．如图所示，椭圆C：

成等比数列，

=1（a＞b

正余弦定理综合运用

作者:Fisher

一、学习目标

(1) 通过本节的学习，我们能够熟练的运用正弦定理、余弦定理解任意三角形，并会判断三 角形的形状。

（2）通过运用正余弦定理解题的过程，我们要学会分析问题的方法，并养成独立思考的学

习习惯；

（3）通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养“我参与我快乐”的学习精神。

二、学习重点、难点：

学习重点：利用正余弦定理解斜三角形以及判断三角形形状。 学习难点：正余弦定理综合应用及运算问题。

三、学习方法：自主探究 合作交流

四、学习思路：

通过复习正弦定理、余弦定理内容，进一步理解正余弦定理，探究斜三角的解法及其形状的判断。

五、知识链接:

复习1 正弦定理是什么？我们可以利用正弦定理解决一些怎样的解三角形问题？

复习2 若?ABC的外接圆半径为R，则

abc??? R. sinAsinBsinC

复习3 余弦定理是什么？我们可以利用余弦定理解决一些怎样的解三角形问题？

复习4 角A是三角形的一个内角，若sinA?

1 ,则A?? 2

一、 应用正余弦定理解三角形

教学设计与反思

课题：正余弦定理在现实生活中的应用 科目：数学 提供者：孔庆荣 一、教学内容分析 高中数学课本的必修5中的第一单元——正余弦定理在现实生活中的应用，让学生体会到正余弦教学对象：高二（11）班 课时：3课时 单位：丰子恺学校 定理在生活中的应用，让学生体会抽象的数学三角函数知识可以运用在具体的生活；了解到数学是来源于生活，同时也是解决生活的某些问题的必要工具。学习的目标包括学生如何策划集体外出测量数据的活动，在活动的过程中如何操作，具体步骤是什么，操作过程要注意的细节，如何组织每个成员及时完成学习任务，操作过程中遇到难题如何得到及时解决，如何展示研究成果等等，让每一位成员参与其中，激发学生学习数学的热情，培养数学思维能力和跨学科综合运用知识的能力。 二、教学目标 1、知识技能：掌握正余弦定理的运用的背景和条件，发展应用意识，如何设计方案，探索测量方法，利用正余弦定理解决有关测量问题，以测量的数据实例解决航空、航海、不可到达物体的测量； 2、过程与方法：能够综合运用所学的知识解决实际生活中的问题，选择适当的工具、公式进行测量与计算； 3、情感态度与价值观：体会类比的数学思想和方法培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三

必修五正余弦定理习题练习

一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ） A．

B．

C．

D．

，

2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，A．

B．

，则b的值为（ ）

C．

D．

3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=A．

B．

C．

D．

或

，b=

，则AC=（ ）

，B=

，则A等于（ ）

5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=

A．5 B． C．2 D．1

二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3

，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______．

7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣

必修五正余弦定理习题练习

一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ） A．

B．

C．

D．

，

2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，A．

B．

，则b的值为（ ）

C．

D．

3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=A．

B．

C．

D．

或

，b=

，则AC=（ ）

，B=

，则A等于（ ）

5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=

A．5 B． C．2 D．1

二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3

，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______．

7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣