holder不等式证明minkowski不等式

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公

自己原创的。

河南开封市高级中学jason_1108@

利用排序不等式证明AM-GM不等式AM-GM不等式若a1,a2, ,an>0，则

a1+a2+ +an≥n

等号当且仅当a1=a2= =an时成立a1a2 an

证明：令G=a1a2 an，则原不等式等价于

a1+a2+ +an≥nG

构造数列

A=

B= aaaaa a,, ,2GGGnGG2Gn,, ,a1a1a2a1a2 an

显然，两组数列中的元素有着一一对应的关系，即A中第K大的元素在B中所对应的元素是第K小的元素。所以，A、B两组数列中的元素对应相乘再相加所得结果是两组数列的反序和，即为n。

另一方面，A、B两组数列错位相乘为两组数列的乱序和，即乱序和是a1+a2+ +an。G

由排序不等式，乱序和大于等于逆序和，即

a1+a2+ +an≥nG

原不等式得证。

第1篇：不等式证明,均值不等式

1、设a,b?R，求证：ab?(ab)?aba?b2?abba

2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a

24、设a,b?R?，且a?b?1，求证：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求证：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求证：a?b?

7、a,b,c,d?R求证：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

111

18、求证2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求证：?2n?1n?22n

10、求下列函数的最值

（1） 已知x＞0，求y?2?x?

（2） 已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2） x1的最小值（4） x?

2111（3） 已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（） 2216

11、若正数a,b满足ab?(a?b)?1则a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正数a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值为（）（4）

1

3、求函数y?

14、二次函数f(x)?x?ax?x?a的两根x1,x2

第 1 6卷第 1期2 O 1 3年 1月

高等数学研究S TUDI E S I N C0LLE GE M ATHEM ATI CS

V0 1 . 1 6。 No . 1

J a n .,2 0 1 3

由 Mi n k o w s k i不等式生成的函数时统业，邓捷坤(海军指挥学院浦口分院，江苏南京 2 1 1 8 O O )

摘要定义一个与 Mi n k o w s k i不等式相关的二元函数，由它的单调性和准线性，可得出 Mi n k o ws k i不等式的一些加细 .

关键词 Mi n k o w s k i不等式；准线性；单调性中图分类号 0 1 7 8 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 8— 1 3 9 9 ( 2 0 1 3 ) 0 1— 0 0 3 8— 0 3

文[ 1]研究了由 S c h wa r z不等式生成函数的方

法，本文以其为借鉴，研究由 Mi n k o ws k i不等式生成的函数的准线性和单调性 .

( )≥ ( )=== ( s古+￡古 ) ,也即待证不等式成立。

引理 1 ( Mi n k o ws k i不等式)[ ] 设， ( )和g (￡ )

定义 1设， ( z )和g ( z )在[口， 6]上可积

高中数学几个重要不等式的证明。

四、排序不等式

【】

（一）概念9： 设有两组实数

a1，a2， ，an （1） b1，b2， ，bn （2） 满足

a1 a2 an （3） b1 b2 bn （4） 另设

,cn （5） c1，c2，是实数组（2）的一个排列，记

逆序积和S a1bn a2bn 1 anb1 乱序积和S' a1c1 a2c2 ancn 似序积和S'' a1b1 a2b2 anbn 那么

S S' S'' 且等式成立当且仅当 a1 a2 an

或者

b1 b2 bn

证明【9】：

1，预备知识

引理1（Abel变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令

k

B0 0，Bk 那么

n

b,

i

i 1

n 1

akbk anBn (ak 1 ak)Bk

k 1

k 1

事实上：

n

n

akbk

k 1

a

k 1n 1

k

(Bk Bk 1) an(Bn Bn 1) an 1(Bn 1 Bn 2) a1B1

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

不等式证明的若干方法

作者：金克川 指导老师：杨翠

摘要 无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的

重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.

关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数

1引言 在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和

高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的

中原工学院

1 常用方法

1.1比较法（作差法）[1]

在比较两个实数a和b的大小时，可借助a?b的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.

例1 已知：a?0，b?0，求证：证明

a?b2a?b2?ab.

b)2?ab?a?b?2ab2a?b2?ab?(a?2?0，

故得 1.2作商法

.

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断（大于1或小于1）.

例2 设a?b?0，求证：aabb?abba. 证明 因为 a?b?0， 所以 而

abaab?1或

ab?1来判断其大小，步骤一般为：

?1，a?b?0.

baababb?a?????b?a?b?1，

故 aabb?abba. 1.3分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.

例3 求证：

(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组

数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式

数列、函数与不等式

及其试题设计

三、不等式证明 方法总结：

不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法等八种方法．要明确这虹各种方法证明不等式的步骤及应用范围．若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．

A B 0 A B；作商比较：A B 作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和． ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小． 2、综合法：由因导果．

3、分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．

4、反证法：正难则反．

放缩法的方法有：

①

an； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③

利用基本不等式，如：log3 lg5 (④

lg3 l

中考专题复习

第2讲 不等式与不等式组

一级训练

1．(2012年广东广州)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c C．ac＜bc D．ac＞bc 2．(2012年四川攀枝花)下列说法中，错误的是( )

A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜1的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2012年贵州六盘水)已知不等式x－1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为(

)

4．(2012年湖北荆州)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)

2x－1≥x＋1，

5．(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )

x＋8≤4x－1

A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集

x－1≥0，

6．(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(

)

4－2x＞0

7．(2012年湖南益阳)如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(

)

图2－2－2

x≥－5， x＞－5， x＜5， x＜5， A. B. C. D. x＞－3