量纲分析相似参数

量纲分析相似理论

第一章

相似理论和量纲分析

量纲分析相似理论

相似理论-举例1(自然灾害模拟)Lab-scale to Real-scale

explosion

实验室模拟：易于实现、经济、安全； 条件可控；获取的信息多、发现规律 问题：是否反映真实现象？如何应用？

量纲分析相似理论

举例3--小放大(易于观察测量)

量纲分析相似理论

举例4--单摆(量纲分析的优势)研究摆动周期问题(假想不知道牛顿第二定律)α主要影响因素：长度l、质量m重力加速g、角度α

l

Tp = f (l , m, g , α )无量纲化：取三个量纲独立的基本量l、m和g 则时间量纲为(长度/加速度)1/2

m

Tp

g发现规律：Tp = f(α)l / g )1/ 2 ( Tp 正比于l 1/ 2 , 反比于g 1/ 2 , 与m无关，Tp与α有关

(l / g )1/ 2

= f1 (1,1,1, α )次数 按后者 = 10次

Tp (l / g )1/ 2

= f 2 (α )

设计实验：每个因素取十组数据，次数 按前者 = 10 ×10 ×10 ×10 = 10 4 次减少实验量，发现规律，具有普适性，好处多多！!

量纲分析相似理论

举例5--边界层描述(普适性问题)速

相似原理及量纲分析

4-1 试导出用基本量纲L，T，M表示的体积流量功W和功率P的量纲。

qV，质量流量qm，角速度?，力矩M，

4-2用模型研究溢流堰的流动，采用长度比例尺

Cl?1/20。

（1）已知原型堰顶水头h=3m，

3q'?0.19ms，试求原型上的流量。（3）测V试求模型的堰顶水头。（2）测得模型上的流量

得模型堰顶的计示压强

p'c??1960Pa，试求原型堰顶的计示压强。

?0.15m;399.9m4-3有一内径d=200mm

3s;?39200Pa

??52??4.0?10ms的油，其流量的圆管，输送运动粘度

qV?0.12m3s。若用内径d=50mm的圆管并分别用20?C的水和20?C的空气作模型实验，

试求流动相似时模型管内应有的流量。 [7.553?10?4m3s;1.139?10?2m3s]

4-4 将一高层建筑的几何相似模型放在开口风洞中吹风，风速为风面点1处的计示压强在

v?10ms，测得模型迎

p'e1?980Pa，背风面点2处的计示压强p'e2??49Pa。试求建筑物

v?30ms强风作用下对应点的计示压强。 ?8820Pa;?441Pa?

4-5长度比例尺

Cl?1/40的船模，

相似性原理与量纲分析

1.弦长为3m的飞机机翼以300km/h的速度，在温度为20℃，压强为1at（n）的静止空气中飞行，用比例为20的模型在风洞中作试验，要求实现动力相似。(a) 如果风洞中空气温度、压强和飞行中的相同，风洞中的空气速度应该怎样？(b) 如果在可变密度的风洞中作实验，温度为20℃, 压强为30at(n), 则速度为多少？(c) 如果模型在水中作实验，水温20℃，则速度为多少？ 解：雷诺准数相等 （a）vnLn??vmLm?

vm?vnLnLm=300?20=6000km/h

不可能达到此速度，所以要改变实验条件 （b） ∵等温P?c，?不变，Re?vl??vl?pvl

????得vm?vnLnPnLmPm=300?20?1=200km/h 30（c）由vnLn=vmLm

?气?水得vm?vnLn?水=300?20×1.007=384km/h

?气Lm15.72.长1.5m，宽0.3m的平板在20℃的水内拖曳，当速度为3m/s时，阻力为14N，计算相似板的尺寸，它的速度为18m/s，绝对压强101.4kN/m2，温度15℃的空气气流中形成动力相似

条件，它的阻力为多少？ 解：由雷诺准数相等：

v1L1?1?v2L2?2?3?

第五章 量纲分析和液流相似原理

1、模型中测得闸孔收缩断面处的平均流速vm=1.5m/s，采用的长度比尺λl=25，则原型中收缩断面处的平均流速vp=37.5m/s。 ( ) 2、沿程水头损失系数λ的量纲与谢才系数c的量纲相同。 ( ) 3、水流在紊流粗糙区时，要做到模型与原型流动的重力和阻力相似，只要模型与原型的相对粗糙度相等，进行模型设计时就可用 ( )

(1) 雷诺相似准则 (2) 佛汝德相似准则 (3) 欧拉相似准则 (4) 韦伯相似准则 4、佛汝德相似准则考虑起主导作用的力是 ( )

(1)重力 (2)表面张力 (3)粘滞阻力 (

§5 量 纲 分 析 法 建 模

量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化． 一、量纲齐次原则

许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长 度l、质量m和时间t的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L，M和T．于 是速度v、加速度a的量纲可以按照其定义分别用LT根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积LMT万有引力定律f?km1m2r2?1和LT?2表示，力f的量纲则应

?2表示．有些物理常数也有量纲，如

fr2中的引力常数k，由 k?m1m2?1可知其量纲应从力f、距离r

和质量m的量纲求出，为LMT?2·L2·M?2=L3MT?2．通常，一个物理量q的量纲

记作[q]，于是上述各物理量

攀枝花学院

学生课程设计（论文）

题 目： 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 学生姓名： 学 号： 所在院(系)： 数学与计算机学院 专 业： 班 级： 指 导 教 师： 马 亮 亮

2016年 6 月 24 日 攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书

题 目 1、课程设计的目的 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 通过课程设计，加深学生对代数方程，差分方程，以及二者构造的数学模型有更深刻的认识；同时，加强学生的自我学习能力和动手能力。 2、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等） 按照指导老师给出的课程设计题目和课程设计要求，独立完成本次课程设计，并且撰写相应的完整的课程设计报告。 3、主要参考文献 《数学建模与数学实验（第3版）》

§5 量纲分析法来构造模型

一、基本概念：

在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：

质量的量纲是：克（g）；千克（kg） 速度的量纲是：厘米/秒；公里/时 热量的量纲是：卡

def：量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲，例如：长度、密度、速度等。

用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。

def：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析。例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。

def：量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。

def：基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：

力学中基本量纲为：m（质量），l（长度），t（时间），分别记成：[M]，[L]，[T]，其他量纲可由此推出来。例如：速度 [V]?[LT[f]?[M]?[a]?[M][LT?2?1]；加速度 [a]?[LT?2]，力

]?[MLT?2].

m1m2r2有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律

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相似理论与相 似设计方法

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学习内容基本内容：掌握相似变换、相似定数、 相似常数、相似指标、相似准则等相似 概念；掌握相似第一定理；了解相似准 则的方程式分析法；掌握量纲分析法。 重要内容：相似第一定理，相似的基本 概念，量纲分析法。 难点内容：量纲分析法。

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一. 基本概念相似理论是研究相似现象的性质及其规律的理论。 (相似条件、相似准则和相似定理) 研究目的是应用相似理论，把个别现象的实验结果推 广应用到与之相似的所有现象上去。 相似理论综合了数学分析和实验研究的特点，其优点 是大大减少实验工作设置和费用，而且扩大了实验结 果的使用范围。 相似理论是一种完整的研究、整理和综合实验数据的 方法论。 相似理论应用广泛，在机械领域的应用方法学统称为 相似设计法。

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1. 相似的分类几何相似 时间相似 运动相似 动力相似 其他物理现象相似

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1)几何相似(空间相似)″ ′ ″ ′ ″ ′

l1

=

l2

=

l3

= Cl

l1

l2

l3

∠A′′ = ∠A′, ∠B′′ = ∠B′, ∠C ′′ = ∠C ′

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相似流体定义： 两流动的对应边长成同一比例，对应 角相等。lm kl = =C lpAm kA =

A字型相似与8字型相似

1、如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米。甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是多少？

BEC2、如图：AD平分?BAC交BC于D，求证：

DA

BDAB．（构造A字型和8字型） ?DCACA12BDC

3、矩形DGFE内接于?ABC，DG:DE?3:5，S矩形DGFE?60cm2，AH?10cm，求：S?ABC。

ADQEBGHFC

4、设M1、M2是?ABC的BC边上的点，且BM1?CM2。任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于

P、Q、N1、N2，试证：

AM2ACAM1AB＋＝＋。 APAQAN1AN2APN1N2Q

BM1M2C

5、如图，在?ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE//BC，AQ交DE于点P.

求证：

DPPE。 ?BQQCADEPCBQ

6、如图，DE∥BC，（1）如果AD?2，DB?3，求DE:BC的值；（2）如果AD?8，DB?12，AC?15，

DE?7，求AE和BC的长。

7、如图，?AEB和?FEC是否

一．概要

1. 水化热分析

浇筑混凝土时，水泥在水化过程中产生大量热量会使混凝土的温度升高。虽然随时间的推移混凝土的温度会慢慢冷却，但结构各个位置的温度下降速度不均匀，结构不同位置将发生相对温差，此温差会使混凝土发生温度应力。

温度裂缝发生类型

混凝土浇筑初期，因内部温度升高将发生膨胀，但混凝土表面的温度下降较快，相对应变较小，从而使混凝土表面产生拉应力。

混凝土内部不同的温度分布引起的不同的体积变化而导致的应力称为内部约束应力。此类拉应力裂缝主要发生在构件尺寸比较大的结构。 | 内部约束产生的裂缝（放热时）| | 外部约束产生的裂缝（冷却时）|

混凝土在高温状态下温度下降会发生收缩，但受到与其接触的已浇筑混凝土或者地基等的约束而产生的拉力，像这样变形受外部边界约束的状态称为外部约束。此类应力主要发生在像墙这样约束度比较大的结构中。

利用温度裂缝指数预测温度裂缝

韩国混凝土规范中使用温度裂缝指数（抗拉强度与发生的温度应力之比）i 值预测是否发生裂缝。 一般采用下面的值。

因此通过查看温度分布可以看出输入数据是否有误，如果温度分布没有问题可说明输出的应力结果也是正确的。

2. 水化