复合函数高阶导数求导方法

* 导数公式：(1) C 0 (C为常数)n n 1 ( x ) nx (n R ) ( 2)

(3) (sin x ) cos x (4) (cos x) sin xx x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) ( 5)

(e x ) e x

(6) (log a x ) 1 (ln x ) x

1 ( a 0, a 1) x ln a

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三、导数的运算法则法则1: 两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差),即：

[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).特别地：

[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)

动手做一做1. 求下列函数的导数：

y

2 3 xx

3

2

(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 xx

1 y 4 ln 4 x ln 3

( 3) y sin x e

x

y cos x e x1 y 2 2 x cos x 1

(4) y x 0.5 tan x2. 使得函数 y 个？3

2 x 6 x

第三节 多元复合函数微分法

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,

同步练习

1．若f（x）=sinα－cosx，则f′（α）等于

A．sinα B．cosα C．sinα+cosα D．2sinα 2．f（x）=ax3+3x2+2，若f′（－1）=4，则a的值等于

1916A． B．

331310C． D．

333．函数y=xsinx的导数为

A．y′=2xsinx+xcosx

sinxx B．y′=

sinx2x+xcosx

C．y′=+xcosx D．y′=

sinxx－xcosx

4．函数y=x2cosx的导数为 A．y′=2xcosx－x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx C．y′=x2cosx－2xsinx D．y′=xcosx－x2sinx

5.若y=(2x2-3)(x2-4),则y’= . 6. 若y=3cosx-4sinx ,则y’= . 7．与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是______．

?8．质点运动方程是s=t2（1+sint），则当t=时，瞬时速度为___________．

29.求曲线y=x3+x2

课件

第二节 函数的求导法则一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题

第二章

课件

导数概念的回顾f ( x + x ) f ( x ) 1、导数的定义 f ′( x ) = lim 、 x → 0 x2、导数几何意义

f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x )在点 M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率。3、求导公式

(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x(cos x )′ = sin x2

课件

( x )′ = µx ( µ ∈ R ) .µ 1

µ

( a )′ = a lna.x

x

( e )′ = e .x

x

1 . (log a x )′ = x ln a 1 (ln x )′ = . x3

课件

左右导数f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = lim ; 1.左导数 左导数: 1.左导数: f ′( x0 ) = xlim x →0 x → x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 + x ) f ( x0 ) = li

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《数学分析II》第8讲教案

第8讲 高阶导数与二元函数极值

授课题目 教学内容 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 高阶导数与二元函数极值 1. 多元函数的高阶偏导数；2. 二元函数的二阶混合偏导数相同的充分条件；3. 二元函数的中值定理； 4. 二元函数的泰勒公式；5.二元函数极值. 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数的高阶偏导数的计算方法，掌握二元函数取极值的必要和充分条件，了解二元函数的中值定理，了解二元函数的泰勒公式. 教学重点：多元函数的高阶偏导数的计算； 教学难点：二元函数取极值的充分条件，二元函数的中值定理. (1)本讲重点是多元函数的高阶偏导数的定义及计算，通过例题讲授讲清方法和思想，采用边讲边练教学方法，同时要布置适量的求多元函数的高阶偏导数习题，使学生达到熟练掌握． (2)二阶混合偏导与求导次序无关的定理证明是教学难点，我们可以先讲二元函数的中值定理，应用二元函数的中值定理来证明二阶混合偏导与求导次序无关的定理，布置有关习题． (3) 讲清二元函数的极值必要和充分条件与一元函数的联系，可通过举例使学生掌握求二元函数极值的方法. 作业布置 作业内容：教材 P141:1（3，5，6），2，8

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第三节

多元复合函数微分法

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第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

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例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点

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第 三章

§3.4 隐函数和参数方程求导3. 4. 1 隐函数的导数 3. 4. 2 由参数方程确定的函数的导数 3. 4. 3 相关变化率问题 3. 4. 4 高阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束

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3. 4.1隐函数的微分法1.隐函数的概念

F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I 里的一个隐函数 ；称形如 y f x 表示的函数为显函数 。若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y y x 或 x x y 则称该隐函数可以被显化。3 y 1 x ; 就确定了一个显函数 方程 x y 1 0 例如：

设方程 F x, y 0, 若存在函数 y y x , x I 使得

3

但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。 再如：5 7 方程. y 2 y x 3x 0 也确定 y 是 x 的函数 ，

但此隐函数不能被显化 。机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2. 隐函数的求导法则 设方程 F x,

分段函数

1.已知函数f（x）＝??3x?2,x?1,?x?ax,x?1,2若f（f（0））＝4a，则实数a＝ 2 .

解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

?log3x,x?012. 已知函数f(x)??x，则f(f())?

9?2,x?0A.4

B.

1 4 C.-4 D-

1 4【答案】B

1111【解析】根据分段函数可得f()?log3??2，则f(f())?f(?2)?2?2?，

9994所以B正确.

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ??log2(1?x),x?0，则（f2009）的值为( )

?f(x?1)?f(x?2),x?0A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【解析】:由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,

f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,

f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所

一、一个方程的情形对方程

F ( x, y ) 0

(1)

如能确定一个一元隐函数 y 隐函数的导数. 2 2 如 x y

f ( x) 且隐函数可导,

则可将y看成x的函数,对上式直接求导,可求出

1 0

直接对x求导,利用y为x的函数,可得

x 2 x 2 yy 0 y y' '

但必须先明确两个问题: 1) 在什么条件下,方程(1)可以确定隐函数? 2) 如能确定隐函数,其是否可导?

1. F ( x , y ) 0定理1 设函数F(x,y)在点 P( x0 , y0 )的某邻域内具连续 偏导数,且

F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0,

则方程F(x,y)=0在( x0 , y0 ) 的某邻域内能唯一确定一个 可导且具连续导数的函数y=f(x),满足 y0 f ( x0 )

Fx dy dx Fy

隐函数的求导公式

隐函数求导公式的推导 求复合函数

F ( x, y) F ( x, f ( x)) 0的全导数,即得

由Fy 连续,且 Fy ( x0 , y0 ) 0 故存在点 ( x0 , y0 ) 的一邻域,使得在其上Fy 0 从而

dy Fx Fy 0 dx