解决三角函数各类问题的方法

河南省滑县教师进修学校申治国的专题辅导文章之

《透视解决三角函数各类问题的特殊化方法》

若欲0点通过，请将资料退回，谢！

关于三角函数的很多问题，特别是一些创新型问题，对绝大多数的同学来说是陌生的，也主要考查学生对重要数学思想方法的掌握情况，以及考试时对自己心态的调整．但解 决这些问题有一把“利剑”，就是特殊化方法．特殊化方法的解题依据是，题目所叙述的一般情形成立，则对特殊情形也应该成立，若不成立，则必然选项是错误的．特殊化方法一般有赋特殊值，特殊函数等．

一、单调性类问题

例1（１）若,A B 是锐角ABC ?的两个内角，则点)cos sin ,sin (cos A B A B P --在（ ）．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

（２） 设βα,是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（ ）．

A ．tan tan 1αβ<

B ．2sin sin <

+βα C ．1cos cos >+βα D ．()1

tan tan 22αβ

αβ++<

透视：这是依托基本的几何图形三角形，创新型的考查三角函数的单调性等重要性质的题目，常规解法运算繁杂，用特殊化方法则可出奇制胜．对（１），赋60A B ==?，

几何精练

解决三角函数各类问题的十种方法

１ 凑角法

一些求值问题通过观察角之间的关系，并充分利用角之间的关系，往往是凑出特殊角，可以实现顺利解答． 例１ 求tan20 4sin20 的值．

解析 原式 sin20 2sin40 sin20 2sin(60 20 ) cos20 cos20

sin20 2(sin60 cos20 cos60 sin20 ) cos20

评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答，即消除函数名称差异，或者式子结构的差异，或者角度之间的差异，凑角法体现的就是消除非特殊角与特殊角之间的差异．本题注意若将第一步中的分子化为sin(60 40 ) 2sin40 ，或者化为sin(30 10 ) 2sin(30 10 )，都没有上面的方法简捷，请同学们进行操作比较，分析原因，并注意凑角也需谨慎选择！

２ 降幂法

一些涉及高次三角式的求值问题，往往借助已知及sin cos 1，或降幂公式22

sin2 1 cos2 1 cos2 ,cos2 等借助降幂策略解答． 22

226例２ 若cos cos 1，求sin sin 的值．

2解析 由cos cos 1，

得cos

2cos ．由cos c

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

生活中的三角函数问题

一、教学背景

在现实生活中，特别是普通老百姓把数学看似一个非常遥远的独立的神秘王国，人们误

解数学就是搞难题，没有什么实际用途。这与我们在数学教学中不讲数学的意义，不讲数学与生活的联系，不讲数学与其他学科的关系及其在实际社会生活中的应用价值，而是讲解题，把数学教学变成了一种纯粹的演题训练，使学生看不见数学的本来面目和它的真正 意义，失去了对大自然的“好奇心”有着很大的关系。本课题是在学生学完三角函数这部分内容以后，通过书47页的第4题的启发，把几何图形变式后联系三角函数在生活中的实例，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

二、教学目标

1、知识目标：巩固三角函数知识，建立函数模型；

2、能力目标：掌握数学建模的方法和应用；培养学生的化归的思想和抽象概括及计算能力；

3、情感目标：渗透数学建模的思想，培养数学的应用意识；体会具体的实际问题如何转化为抽象的数学问题，让学生意识到数学来源于生活，数学有用。

三、教学方法

1、启发式讲授法； 2、探究发现法；

以主体——主导相结合，情景——探究模式。

四、教学分析

1、重点：如何把问题转化为数学问题，并通过变式对问题加深理解； 2、难点：如何把问题转化为数学问题（如何建

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

三角函数中三角变换常用的方法和技巧

一、角的变换

当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． 例1 函数y 2sin

π π

． x cos x (x R)的最小值等于（ ）

3 6

（C） 1

（D

）（A） 3 （B） 2

解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：

π π π

x x ，所以将函数f(x)的表 3 6 2

达式转化为f(x) 2cos 选（C）．

π π π

故f(x)的最小值为 1．故 x cos x cos x ，

6 6 6

评注：常见的角的变换有： ( ) ，2 ( ) ( )，

2 ( )，

2

2

，

3π π π

( )， 4 4 2

π π

．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往

44

会发现角之间的关系． 例2、已知 cos

111

,cos( ) , , 均是锐角，求cos 。 714

cos cos[( ) ] cos(

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主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图

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主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图

三角函数(A)

学校 班级 姓名 分数 一、选择题

1） 已知?、?为锐角，且满足sin?? （A）

5310,cos??,则???的值为 （ ） 510???? （B） （C） （D） 432615?2）已知cos??,????3?,则sin的值是 （ ）

522 （A）?

10101515 （B） （C）? （D） 555523）函数y?sinxcosx?3cosx?3的最小正周期是 （ ） 2?? （D） 421?1 4）函数y?sin(2x?)的图象可以看成是把函数y?sin2x的图象做以下平移得到的

363 （A）? （B）2? （C）（ ） （A）向右平移

???? （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向左平移 121266 5）函数y?cos(3