经济学全微分方程
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微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中的应用授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 授课学时:2学时(90分钟) 授课目的: (1)学会解微分方程(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用
授课教师: 张丽莉
微分方程在经济学中的应用
一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马 经济增长模型多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设 经济增长模型的基本假设: 多马 经济增长模型的基本假设
全社会只生产一种产品,可以是消费品,也可以是 投资品; 储蓄是国民收入的函数; 生产过程中只用两种生产要素,即劳动力和资本, 这两种要素之间相互不能替代; 劳动力按照一个固定不变的比率增长; 不存在技术进步,也不存在资本折旧问题; 生产规模报酬不变。
微分方程在经济学中的应用
设S(t)为 t 时刻的储蓄,I(t)为t时刻的投资,Y(t)为t 时刻的国民收入,多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型:S (t ) = αY (t ) I (t ) = β dY dt S (t ) = I (t ) Y (0) = Y0
(1)
Y β Y0 其中α 、 均为正的常数,为初期国民收入,0 > 0 .
微分方程在经济学中的应用
第一
微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中的应用授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业 授课学时:2学时(90分钟) 授课目的: (1)学会解微分方程(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用
授课教师: 张丽莉
微分方程在经济学中的应用
一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马 经济增长模型多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设 经济增长模型的基本假设: 多马 经济增长模型的基本假设
全社会只生产一种产品,可以是消费品,也可以是 投资品; 储蓄是国民收入的函数; 生产过程中只用两种生产要素,即劳动力和资本, 这两种要素之间相互不能替代; 劳动力按照一个固定不变的比率增长; 不存在技术进步,也不存在资本折旧问题; 生产规模报酬不变。
微分方程在经济学中的应用
设S(t)为 t 时刻的储蓄,I(t)为t时刻的投资,Y(t)为t 时刻的国民收入,多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型:S (t ) = αY (t ) I (t ) = β dY dt S (t ) = I (t ) Y (0) = Y0
(1)
Y β Y0 其中α 、 均为正的常数,为初期国民收入,0 > 0 .
微分方程在经济学中的应用
第一
动态经济学的微分方程和差分方程案例
市场需求函数由下式给出:
qtD=A+Bpt
其中,qtD为t时刻的需求量,pt是t时刻的市场主导价格
我们假定供给决策是在产品上市的前一期做出的。因此,t时期市场的共给量是在t-1时期以供应商预期的未来市场价格为基础决定的。令Et?1(pt)表示预期价格,那么时期t的供应量由下式给出:
qtS=F+GEt?1(pt)
为了使模型更加的完整,我们需要指定预期价格的形成方式。在基本的蛛网模型中,我们假定
Et?1(pt)=pt?1
这意味着,供应商预期下一期的市场价格等于当前的市场价格。
假定在每一期价格都会调整到市场出清水平,那么每一期的供给和需求都相等。这意味着
A+Bpt= F+GEt?1(pt) 重新整理,可以求得pt:
pt=
GF?Apt?1? (18.8) BB该式说明,价格的时间路径服从一个一阶线性自治差分方程(以t和t-1,而不是t和t+1的项表示)。稳态价格p可以通过令pt=pt?1=p求得。
按照上述做法,我们求得
p=
A?F G?B注意,稳态价格也是使供给和需求相等时的价格。
比较等式(18.8)和等式(18.1),我们知道
微分方程讲义
课程安排:2学期,周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容:定积分的计算 要求:听课 、复习 、 作业 本次课题(或教材章节题目):第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求: 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点:微分方程的基本概念,微分方程阶的概念 难 点: 微分方程的概念; 微分方程阶的概念 教学手段及教具:讲授为主 讲授内容及时间分配: 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以
12微分方程
第十二章 微分方程
一、内容提要
(一)主要定义
【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程; 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.
【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.
一般形式为: Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为:y?n??(n)??0.
??fx,y,y?,?,y?n?1?.
?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,
或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.
根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解);不含有任意常数的解叫特解.
【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.
例
【例1
微分方程作业
P10习题
1.用Euler法和改进的Euler法求u’=-5u (0≤t≤1),u(0)=1的数值解,步长h=0.1,0.05;并比较两个算法的精度。
解:function du=Euler_fun1(t,u) du=-5*u;clear;
h=0.1;tend=1;N=1/h;t(1)=0;u(1)=1; t=h.*(0:N); for n=1:N
u(n+1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); end
plot(t,u,'*');hold on for n=1:N
v(1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); for k=1:6
v(k+1)=u(n)+h/2*(Euler_fun1(t(n),u(n))+Euler_fun1(t(n+1),v(k))); end
u(n+1)=v(k+1); end
plot(t,u,'o');
sol=dsolve('Du=-5*u','u(0)=1'); u_real=eval(sol); plot(t,u_real,'r');
将上述 h 换为0.05得:
由图像知道:
显然改进的Euler法要比Euler法
裘布依微分方程
1.答:对于底坡i=0、 i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理,可知q=常量。
那么,由裘布依微分方程
q??Kh?H ?x
可知??H沿流向将变大,即水头线越来越弯曲,其形状H为一上凸的曲线。?x
由此,可知习题6-1图所示的水头线形状不正确,图中红色曲线为正确的水头线形状。
(a) (b)
习题6-1图
2.答:
(a)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理,可知q=常量。 那么,由裘布依微分方程
q??Kh?H ?x
可知?
?H沿流向将变大,即水头线越来越弯曲, 其形状为一上凸的曲线。?x
(a) (b)
习题6-2图
(b)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流向不变。根据渗流连续性原理,可知q=常量。 那么,由裘布依微分方程
q??Kh?H ?x可知??H沿流向将不变,水头线H为一斜直线。?x
(c)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流
节微分方程模型
第三节 微分方程模型
本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型,然后介绍今非物理领域的微分方程模型。
一、徽分方程应用举例
人们对于微分方程的研究,早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了,在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展,成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪,人们借助于微分方程,在力学、天文学、物理学等领域中,取得了重要的成就。
在一些应用问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是,可以根据问题所提供的线索,列出含有待定函数及其导数的关系式,称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后,对它进行研究,找出未知函数这一过程称为解微分方程。
下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况, 建立一个关于
,y与t的关系式, 它在任何时刻均成立。对这个方程积分, 便得到一个只含
的新方程。新方程中含有积分常数, 并且对于任何特定的t仍然成立。
。对于任何确
有y和t而不含
然后,利用问题中的一些特定信息,确定这些积分常数,于是,得函数定的t0,都可以算出
。
一般来说,求解一个应用问题时,可以按照如下步骤:
节微分方程模型
第三节 微分方程模型
本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型,然后介绍今非物理领域的微分方程模型。
一、徽分方程应用举例
人们对于微分方程的研究,早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了,在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展,成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪,人们借助于微分方程,在力学、天文学、物理学等领域中,取得了重要的成就。
在一些应用问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是,可以根据问题所提供的线索,列出含有待定函数及其导数的关系式,称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后,对它进行研究,找出未知函数这一过程称为解微分方程。
下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况, 建立一个关于
,y与t的关系式, 它在任何时刻均成立。对这个方程积分, 便得到一个只含
的新方程。新方程中含有积分常数, 并且对于任何特定的t仍然成立。
。对于任何确
有y和t而不含
然后,利用问题中的一些特定信息,确定这些积分常数,于是,得函数定的t0,都可以算出
。
一般来说,求解一个应用问题时,可以按照如下步骤:
06 常微分方程
同济大学五版高等数学学习资料
第六章 常微分方程
一. 求解下列微分方程: 1. y' ex y
+ex=0.
解.
dydx=ex(e y 1), dye y 1
=exdx ln1 ey
=ex, 1 ey=cee xc
y=ln(1 ce
e x
).
2. dy dx
=(1 y2
)tanx
y(0)=2
解.
dy
1 y
2
=tanxdx
11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln
1+y13+cos2x
3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x
二. 求解下列微分方程:
1. x x
1+ey 1 x
dx+ey
y dy=0 xey
x
1 解. dx y dy
=x
. 1+ey
令
x
y
=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy
, 所以 u+ydudy=eu(u 1)
1+eu duueu euudy1+eu u= +eu
y=1+eu
c= 1
3
同济大学五版高等数学学习资料
u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu
ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu
x
cc1u+euy