高中数学竞赛同余
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数学竞赛辅导讲座:同余
2010年中学数学竞赛辅导讲座(经典竞赛辅导资料)
数学竞赛辅导讲座:同余
知识、方法、技能
同余是数论中的重要概念,同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本讲介绍同余的基本概念,剩余类和完全剩余系,同余方程,整数模的阶和中国剩余定理.
Ⅰ.基本概念
定义一:设m是一个给定的正整数.如果两个整数a、b用m除所得的余数相同,则称a、b对模m同余,记为a≡b(modm);否则,记为ab(modm).
例如,15≡7(mod4),-12(mod7).
同余有如下两种等价定义法:
定义一* 若m|a-b,则称a、b对模m同余.
定义一**若a=b+mt(t∈Z),则称a、b对模m同余.
同余的基本性质:
(1)a 0(modm) m|a.
(2)a a(modm)(反身性)
a b(modm) b a(modm)(对称性)
a b(modm) a c(modm)(传递性)b c(modm)
(3)若a b(modm),c d(modm),则
①a c b d(modm);
②ac bd(modm).
(4)若ai bi(modm),i 0,1,2, ,n.则,anxn a1x a0 bnxn b1x b0(modm).特别地,设f(x) anxn a1x a0(ai
数学竞赛辅导讲座:同余
2010年中学数学竞赛辅导讲座(经典竞赛辅导资料)
数学竞赛辅导讲座:同余
知识、方法、技能
同余是数论中的重要概念,同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本讲介绍同余的基本概念,剩余类和完全剩余系,同余方程,整数模的阶和中国剩余定理.
Ⅰ.基本概念
定义一:设m是一个给定的正整数.如果两个整数a、b用m除所得的余数相同,则称a、b对模m同余,记为a≡b(modm);否则,记为ab(modm).
例如,15≡7(mod4),-12(mod7).
同余有如下两种等价定义法:
定义一* 若m|a-b,则称a、b对模m同余.
定义一**若a=b+mt(t∈Z),则称a、b对模m同余.
同余的基本性质:
(1)a 0(modm) m|a.
(2)a a(modm)(反身性)
a b(modm) b a(modm)(对称性)
a b(modm) a c(modm)(传递性)b c(modm)
(3)若a b(modm),c d(modm),则
①a c b d(modm);
②ac bd(modm).
(4)若ai bi(modm),i 0,1,2, ,n.则,anxn a1x a0 bnxn b1x b0(modm).特别地,设f(x) anxn a1x a0(ai
高中数学竞赛讲座20讲
竞赛讲座01-奇数和偶数
整数中,能被2整除的数是偶数,反之是奇数,偶数可用2k表示 ,奇数可用2k+1表示,这里k是整数. 关于奇数和偶数,有下面的性质:
(1)奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;
(2)奇数个奇数和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数; (3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数; (4)若a、b为整数,则a+b与a-b有相同的奇数偶;
(5)n个奇数的乘积是奇数,n个偶数的乘积是2n的倍数;顺式中有一个是偶数,则乘积是偶数. 以上性质简单明了,解题时如果能巧妙应用,常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题
例1(第2届“华罗庚金杯”决赛题)下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这12个整数中,至少有几个偶数?
□+□=□, □-□=□,
□3□=□ □÷□=□.
解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数,乘法和除法算式中至少各有二个偶数,故这12个整数中至少有六个偶数.
例2 (第1届“祖冲之杯”数学邀请赛)已知n是偶数,m是奇数,方程组
是整数,那么
(A)p、q都是偶数. (B)p、q
组合计数(高中数学竞赛)
兰州老师讲的组合数学,看晚会有一定帮助
高中数学竞赛中组合方法应用
组合计数主讲人:刘海宁
兰州老师讲的组合数学,看晚会有一定帮助
组合方法
组合计数
兰州交通大学数理与软件工程学院
兰州老师讲的组合数学,看晚会有一定帮助
组合方法
组合计数
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组合方法
组合计数
应用组合方法解决计数问题(组合计数问题)
1 分类计数 2 几个计数原理(加法原理与乘法原理、极值 原理、抽屉原理、容斥原理、最小数原理、从 反面考虑问题等) 3 排列组合计数公式:Cn m
n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) m!
Pn
m
n ( n 1)( n 2 ) ( n
高中数学竞赛讲座20讲
竞赛讲座01-奇数和偶数
整数中,能被2整除的数是偶数,反之是奇数,偶数可用2k表示 ,奇数可用2k+1表示,这里k是整数. 关于奇数和偶数,有下面的性质:
(1)奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;
(2)奇数个奇数和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数; (3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数; (4)若a、b为整数,则a+b与a-b有相同的奇数偶;
(5)n个奇数的乘积是奇数,n个偶数的乘积是2n的倍数;顺式中有一个是偶数,则乘积是偶数. 以上性质简单明了,解题时如果能巧妙应用,常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题
例1(第2届“华罗庚金杯”决赛题)下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这12个整数中,至少有几个偶数?
□+□=□, □-□=□,
□3□=□ □÷□=□.
解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数,乘法和除法算式中至少各有二个偶数,故这12个整数中至少有六个偶数.
例2 (第1届“祖冲之杯”数学邀请赛)已知n是偶数,m是奇数,方程组
是整数,那么
(A)p、q都是偶数. (B)p、q
2014浙江高中数学竞赛试题
智浪教育—普惠英才文库
2014年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分)
1.已知集合P={1,|a|},Q={2,b2}为全集U={1,2,3,a2+b2+a+b}的子集,且CU{P∪Q}={6},则下面结论正确的是( D )
A.a=3,b=1
B.a=3,b=-1
C.a=-3,b=1 D.a=-3,b=-1
2.已知复数z1, z2,且|z1|=2,|z2|=2,|z1+z2|=7,则|z1-z2|的值为( D )
A.5
B.7 C.3
D.3 3.已知∠A, ∠B, ∠C为△ABC的三个内角,命题P:∠A =∠B;命题Q:sin∠A =sin∠B,则﹁P是﹁Q 的( C )
A.充分非必要条件 C.充分必要条件
B.必要非充分条件
D.既非充分又非必要条件
20144.已知等比数列{an}:a1=5,a4=625,则
1=( A ) ?k?1log5aklog5ak?1
C.
A.
2014 2015 B.
2013 2014
高中数学竞赛讲座20讲
竞赛讲座01-奇数和偶数
整数中,能被2整除的数是偶数,反之是奇数,偶数可用2k表示 ,奇数可用2k+1表示,这里k是整数. 关于奇数和偶数,有下面的性质:
(1)奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;
(2)奇数个奇数和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数; (3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数; (4)若a、b为整数,则a+b与a-b有相同的奇数偶;
(5)n个奇数的乘积是奇数,n个偶数的乘积是2n的倍数;顺式中有一个是偶数,则乘积是偶数. 以上性质简单明了,解题时如果能巧妙应用,常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题
例1(第2届“华罗庚金杯”决赛题)下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这12个整数中,至少有几个偶数?
□+□=□, □-□=□,
□3□=□ □÷□=□.
解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数,乘法和除法算式中至少各有二个偶数,故这12个整数中至少有六个偶数.
例2 (第1届“祖冲之杯”数学邀请赛)已知n是偶数,m是奇数,方程组
是整数,那么
(A)p、q都是偶数. (B)p、q
高中数学竞赛专题二 数列
高中数学竞赛专题讲座之 数列
一、选择题部分
1.(2006年江苏)已知数列 an 的通项公式an
A a1
B a2
2
,则 an 的最大项是( B ) 2
n 4n 5
C a3 D a4
23
2.(2006安徽初赛)正数列满足a1 1,a2 10,anan 2 10an t n 3 ,则lg(a100) ( )
A、98 B、99 C、100 D、101
3. (2006吉林预赛)对于一个有n项的数列P=(p1,p2, ,pn),P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、 sn、的算术平均值,其中sk=p1+p2+ pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2, ,p2006)的“蔡查罗和”为2007,那么数列(1,p1,p2, ,p2006)的“蔡查罗和”为 ( A )
A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004
4.(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<
1
高中数学竞赛训练题二
数学训练题(二)
一、选择题 2、满足y
( ) x 3 x 2007的正整数数对(x,y)
(A)只有一对 (B)恰有有两对 (C)至少有三对 (D)不存在
3、设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f:M N使对任意的x∈M,都有3是奇数,则这样的映射f的个数是( )
(A)45 (B)27 (C)15 (D)11 4、设方程
x2y2
1所表示的曲线是( ) 2007 2007
sin(19)cos(19)
(A)双曲线 (B)焦点在x轴上的椭圆
(C)焦点在y轴上的椭圆 (D)以上答案都不正确
5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数”。那么,所有的三位数中,奇和数有( )个。 (A)100 (B)120 (C)160 (D)200
6、函数y f(x)与y g(x)有相同的定义域,且对定义域中的任何x,有。若g(x) 1
的解集是{x|x 0},则
高中数学竞赛辅导讲座-数列(一)
高中数学竞赛辅导讲座---数列
一、学习目标
数列是高中数学的重要内容之一,也是高考及高中数学联赛考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现,所以我们在复习时应给予重视。近几年的数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法,而且有效地考查了学生的各种能力。 二、知识要点
(一)、数列的基础知识
1.数列{an}的通项an与前n项的和Sn的关系
它包括两个方面的问题:一是已知Sn求an,二是已知an求Sn; 1.1 已知Sn求an
(n?1)?S1对于这类问题,可以用公式an=?.
S?S(n?2)n?1?n
1.2 已知an求Sn
这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法:颠倒相加法、
错位相减法和通项分解法。
?a?a2.递推数列:?1,解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联
a?f(a)n?n?1系,设法转化为等差数列与等比数列的有关问题,然后解决。
(二)、等差数列与等比数列
1.定义:数列{an}为等差数列?an+1-an=d?an+1-an=an-an-1;
数列{bn}为等比数列?bn?1?q?bn?1?bn。
anbnbn?12.通项公式与前n项和公式:
数列{an}为