小专题三分式方程的解法

达连河镇第一中学：汪多敏

§15.3.1

解分式方程的思路是：分式 方程 去分母

整式 方程

解分式方程的一般步骤1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. (转化思想)

2、解这个整式方程.3、检验 4、写出原方程的根. 为什么要检验？

一化二解三检验四总结

1 10 例 1: 解分式方程： 2 x 5 x 25方程两边同乘以最简公分母(x-5)(x+5),得：

x+5=10 解得： x=5

为什么会产生 增根？增根产 生的原因？

检验：当x=5时最简公分母(x-5)(x+5)=0, 所以x=5是增根。

原分式方程无解。

对于分式方程，当分式中分母的值为零时无 意义，所以分式方程，不允许未知数取那些 使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐 含着分母不为零的条件。当把分式方程转化 为整式方程以后，这种限制取消了，换言之， 方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化 后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允 许值之外的值，那么就会出现增根。

例2:k为何值时，方程 增根？

k 1 x 3 产生 x 2 2 x

问：这个分式方程何时有增根？ 答：这个分式方程产生增根，则增根一定是使 方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即 x=2。

人教版8年级下学期数学上课课件。以童话故事引入,激发学生学习热情,重点讲解分式方程在行程问题中的应用,教材例4是本课核心,揭示出含字母分式方程的解法,为例2的引入做好了铺垫。

16.3分式方程的应用(2)湖南师大附中星城实验中学 八年级数学备课组

人教版8年级下学期数学上课课件。以童话故事引入,激发学生学习热情,重点讲解分式方程在行程问题中的应用,教材例4是本课核心,揭示出含字母分式方程的解法,为例2的引入做好了铺垫。

问题 动物趣闻 自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它 就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂 蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书.乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始 跑到相距15米的大柳树下，比赛枪声响后，先到是冠军. 蚂蚁

比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知 乌龟的速度是蚂蚁的1.5倍，提前1分钟跑 到终点，请你算算它们各自的速度.

人教版8年级下学期数学上课课件。以童话故事引入,激发学生学习热情,重点讲解分式方程在行程问题中的应用,教材例4是本课核心,揭示出含字母分式方程的解法,为例2的引入做好了铺垫。

分析：设 蚂蚁 的速度为x米/分.速 蚂 乌 蚁 龟 度(米/分) 路 程(米) 时 间(分)12 x12

滦平二中八年级数学学科导学案 编号 课题 23.2分式方程的应用（一）行程问题 学 教 目 标 3. 能够准确的分析解决行程问题。 1. 经历用分式方程解决实际问题的过程，进一步增强应用意识。 2. 通过解决实际问题，体会如何恰当的把握不同形式的等量关系。 主备人 鲍青伶 教学 环节 备课时间 学 生 活 动 教 师 活 动 (3)试着求出小明百米跑的平均速度。 （二）规定任务，自学交流 导 培养学生归纳总结和语言叙述的能力，尤其要有条理的表达自己重点 分式方程的应用---行程问题 难点 从不同角度寻找等量关系。 教学 环节 （4）归纳总结：列分式方程解应用题的一般步骤 思考问题的过程，加强1.审: 2.设: 3.列: 4.解: 5.验: 6.答: （三）以学定教，点拨升华 总结后知识的应用。 学 生 活 动 一、情境导入，明确目标 教 师 活 动 发展学生分析问题，解决问题的能

八年级数学教学案

姓名 学号 班级 教者 课题 8.5分式方程（3） 课型 新授 时间 第八章第10课时 1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。 2、发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。 重 难 点 如何结合实际分析问题，列出分式方程。分析过程，得到等量关系。 学习过程 一、课前预习与导学 得分 1、列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？ 旁注与纠错 解决这类问题的数学模型是教学目标 （1）根据题意设末知数；（2）分析题意寻找等量关系，列方程；（3）解所 “工作量＝工列方程；（4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案。 作时间×工作2、列方程（组）解应用题的关键是什么？ 半岛效率”，分析题意寻找等量关系，列方程。 通常情况下，3、某工程，原计划由52人在一定时间内完成，后来决定自开工之日起采 工作量视为用新技术，工作效率提高50﹪，现

16.3.1分式方程的解法(1) 分式方程的解法( 分式方程的解法

长庆一中

高科寿

一艘轮船在静水中的航速为20千米/ 一艘轮船在静水中的航速为20千米/时,它沿江顺流 20千米 航行100千米所用的时间,与逆流航行60 航行100千米所用的时间,与逆流航行60千米所用的时间 100千米所用的时间 60千米所用的时间 相等,江水的流速为多少? 相等,江水的流速为多少?分析：设水流的速度是 千米 千米/时 填空： 分析：设水流的速度是v千米 时.填空： (1)轮船顺流航行速度为 20+v 千米 时，逆流航行速度为 千米/时 ) 20-v 千米 时. 千米/时 (2)顺流航行 )顺流航行100千米所用时间为 千米所用时间为 (3)逆流航行 千米所用时间为 )逆流航行60千米所用时间为 (4)根据题意可列方程为 : )1 0 0 2 0 + v

6 0 2 0 - v

这个方程和我们 小时； 小时； 学过的整式方程 小时； 小时； 有什么不同呢? 有什么不同呢?

100 20+V

=

60 2020-V

100 60 = 20 + v 20 v像这样， 像这样，分母里含有未知数的方程 叫做分式方程 分式方程。 叫做分式方程。 确定是不是分式方程，主要看它是 否

15.3.2分式方程应用题分类解析

一、营销类应用性问题

1、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料和价值1000元的乙混合后，单价为9元， 求甲的单价.

2、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买 了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普书和文学书的价格各是多少？

3、某种商品价格，每千克上涨

3、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方水费上涨

1

，小利家去年12月的水费是15元，而今年73

1

，上回用了15元，而这3

次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格.

二、利润类应用性问题

1、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少？

2、某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.

- 1 -

月份的水费则是30元，已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民的用水的价格.

4、某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300

如何理解分式方程和分式方程的根

学习分式方程和求解分式方程的根时，容易产生一些模糊的认识，要真正弄懂学好，应注意以下几点：

1. 分式方程是分母含未知数的有理方程。这告诉我们：

x2?1与x?1是不同的两个方程，①分式方程是形式上的定义。如方程前者x为分式方程，后者为整式方程。

②分式方程强调分母是含未知数而不是含有字母，这与分式定义中分母规定不一定。如关于x的方程

1x?m?2?，它不是分式方程，而是整式方程。 m2③分式方程是有理方程。如方程

x?1不是分式方程。 x2. 解分式方程时，去分母的方法不一定要乘最简公分母，但乘以最简公分母意义在于它不仅能使去分母具有可行性，同时演算简洁，有时还可减少增根个数。

如：解方程

x2?2?1，若方程两边乘以(x?1)(x2?2x?1)，解得x?1x?2x?1x??1，而x??1为增根；若方程两边乘以x2?2x?1，解得x?1为原方程的根。

3. 分式方程与它变形之后的整式方程的关系表现在：

一方面，分式方程的根是从整式方程中求出来的，它一定是整式方程的根。但整式方程的根不一定是分式方程的根，若是它的根的条件是要使分母不为零。

另一方面，分式方程的要求解要依靠整式方程，只不过其中排除分母不为零这一因素。如

练习精品

典例分析：

某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？

分析：（1）设

（3）等量关系：

平行演练：

1． 某化肥厂计划在规定日期内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，

实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，求计划每天生产多少吨化肥？

A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。

3．陈明同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，求原定的人数是多少？

4．甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队完成此工作时间比是2:3,求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天?

5．市政工程公司修建6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快速度，工效比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完成。求该公司完成这项

回顾与思考 1. 什么叫做一元一次方程? 2. 下列方程哪些是一元一次方程?

(1)3x 5 3( 3 )x x 52

( 2)x 2y 5x x 1 (4) 1 2 3

分母中不含未知数的方程叫做整式方程.3. 什么叫做分式方程?

10 6 20+v 20 v这个方程的分母中含有未知数

【分式方程的定义】 分母中含未知数的方程叫做 分式方程. 整式方程的未知数不在分母中 分式方程的分母中含有未知数

(1)( 2)( 3)( 4)

2x 3 (否) 5是 分 式 方 程 2 3 4 是分式方程 (是) 4 4x x 3x 1是 分 式 方 程 x 1 1 是分式方程 x 1 y 12(是)

(是)

下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.

x 2 x (1) 2 3

4 3 7 x y

整式方程

1 3 (2) x 2 x

x( x 1) (4) 1 x

(3)

3 x

x 1 x 2 10 (6) x 5 2

1 (5)x 2 x

2x 1 3x 1 x

分式方程

回顾与思考 解方程

x x 1 1 2 3

步骤1、 去分母 2、 去括号 . 3、 移

总复习

考点 分式 方程 的概 念

课标要求 1.知道分式方程的概念，会识别分式 方程； 2.理解分式方程中产生增根(无解) 的情况.

难度

较难

1.知道解分式方程的一般步骤； 2.掌握应用“去分母”和“换元”将分式 分式 方程转化为整式方程，领会解分式方 方程 程“整式化”的化归思想； 的解 3.掌握分式方程的验根方法，注意解 法 分式方程时可能会出现增根，解方程 后一定要验根.

中等

考点 分式 方程 的应 用

课标要求 1.分式方程来解决简单的实际问题. 2.在列分式方程应用题求解检验时， 不仅要考虑是否产生了增根，还要考 虑是否符合题意(实际情况).

难度

中等

题型预测 分式方程考查内容相对比较集中，如分式方 程的增根或无解问题、解分式方程问题和分式方 程的应用问题，除了应用问题常出现在解答题中 外，其余基本以填空、选择的形式出现，其中与 增根有关的问题难度较大.

1._____ 分母 里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的增根必须满足两个条件 某一个分母 (1)使原分式方程的______________ 为零； (2)是原分式方程去分母后所得的整式方程的根 ___________.

3 .解分式方程的基本思路：将分式方程化 整式 为______