定积分应用公式总结

第四节 广义积分

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线y?e?x，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????（2）由曲线y?ex，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2．定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续，取b?a.如果极限 lim存在，则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分，记作?即：???a??b????f?x?dxab

af?x?dx.

f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————（1）

这时，也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛；如果上述极限不存在，函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义，习

f?x?dx发散.

定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续，取a

洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。

§1平面图形的面积

教学目标：掌握平面图形面积的计算公式． 教学内容：平面图形面积的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学建议：

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2) 领会微元法的要领． 教学过程：

1、微元法

bI?众所周知，定积分

?f?x?dxa是由积分区间

?a,b?及被积函数f(x)所决定

的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分

?:x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b

记

?Ik??xkxk?1f(x)dx k?1,2

第5章 定积分及其应用

本章讨论积分学的第二个问题——定积分．定积分是某种特殊和式的极限，它是从大量的实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用．

本章主要讲授定积分的定义、性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分，以及定积分在几何、物理、经济上的应用等．

通过本章的学习，学生能够理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件；掌握定积分的基本性质和对积分上限函数求导数的方法；能利用牛顿-莱布尼兹公式和定积分的换元法、分部积分法计算定积分；了解广义积分收敛和发散的概念，会求广义积分；会用定积分求平面图形的面积和简单的旋转体的体积，会用定积分解决沿直线运动时变力所做的功等实际问题．

5.1 定积分的概念与性质

5.1.1 引例

1．曲边梯形的面积

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0．由曲线y?f(x)，直线x?a，x?b以及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1所示），下面讨论如何求该曲边梯形的面

积．

不难看出，该曲边梯形的面积取决于区间[a,b]及曲边y?f(x)．如果y?f(x)在[a,b]上为常数，此时曲边梯形为矩形，则其面积等于h(b?a)．现在

学号：

本科毕业论文

学 院 专 业 年 级 姓 名 论文题目 定积分的若干应用 指导教师 薛艳昉 职称 讲师

2013年5月16日

目 录

摘 要 ····························································································· 1 关键词 ····························································································· 1 Abstract ···········································································

咸阳师范学院

毕业论文(设计)文献综述

题目：定积分及其应用

学生姓名：马永升

系 别：数学与信息科学学院 专 业：应用数学 年 级：2008级 学 号：0806014322 本(专) 科：本科 指导教师：李艳艳

1

定积分及其应用

摘要：定积分在几何、物理、初等数学以及在其他方面的应用。讨论了应用定

积分在图形面积、立体图形体积、求数列极限、求变速直线运动的路程、求变力所做的功的方法。

关键词：定积分；几何；物理；初等数学

极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限科以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效的方法。

1?2?n?1???sin?]的值。 例如：求lim[sin?sinn??nnnn1?2?n?1???sin?]= 解 lim[sin?sinn??nnnn10??2?n?1lim[sin?sin?sin???sin?]?n??nnnnnn?11i lim?sin??

n??nni?0n?11lim?f(?i).?1?n??ni?0（1） 式是函数f（x）=sinx?在区间[a,

咸阳师范学院

毕业论文(设计)文献综述

题目：定积分及其应用

学生姓名：马永升

系 别：数学与信息科学学院 专 业：应用数学 年 级：2008级 学 号：0806014322 本(专) 科：本科 指导教师：李艳艳

1

定积分及其应用

摘要：定积分在几何、物理、初等数学以及在其他方面的应用。讨论了应用定

积分在图形面积、立体图形体积、求数列极限、求变速直线运动的路程、求变力所做的功的方法。

关键词：定积分；几何；物理；初等数学

极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限科以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效的方法。

1?2?n?1???sin?]的值。 例如：求lim[sin?sinn??nnnn1?2?n?1???sin?]= 解 lim[sin?sinn??nnnn10??2?n?1lim[sin?sin?sin???sin?]?n??nnnnnn?11i lim?sin??

n??nni?0n?11lim?f(?i).?1?n??ni?0（1） 式是函数f（x）=sinx?在区间[a,

２００９年９月第２３卷第３期

阴山学刊

ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ

Ｓｅｐ．２００９Ｖ０１．２３

Ｎｏ．３

欧拉积分在求解定积分中的应用

田

兵

（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头０１４０３０）

摘要：本文叙述了欧拉积分的定义及相关性质，着重通过举例说明欧拉积分在实际计算中的应用。关键词：欧拉积分；定义；性质；应用

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—１８６９（２００９）０３－００２２—０３

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的

∞）内闭一致收敛。Ｆ（ｄ）在区间（０，＋∞）连续，求导在积分号下进行：

方法一般来说是先求出原函数，然后再根据牛顿一一莱布尼茨公式带人上下限进行计算。这种方法对

于一般的定积分求解问题比较实用。

ｒ“’（ａ）＝ｆ石”１ｅ１（１似）“ｄｘ

（２）递推公式Ｖｄ＞０，有

ｒ（ａ＋１）＝ａｒ（ａ）。

这个性质可有分布积分公式得到。

，＋∞

，＋蕾

在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么这一问题就

得到了很好的解决。欧拉积分恰恰就是我们解决这

ｒ（ａ＋１）＝Ｉ

Ｘａｅ－ｘ

帕

石。ｅ—ｄｘ＝Ｉ加

ｘ。ｄ（一

定积分及其应用习题课

n1．求极限：limn??n!； n2．设f(x)为[0,a]上的非负单调增加的连续函数，又x?g(y)是它的反函数，试用定积分的几何意义证明：

?a0f(x)dx??f(a)f(0)g(y)dy?af(a)。

x???3．设f(x)为[0,??)上的单调增加的连续函数，f(0)?0，limf(x)???，又x?g(y) 是它的反函数，试用定积分的几何意义说明：对任意的a?0,b?0，总有

?a0f(x)dx??g(y)dy?ab，并进一步说明等号成立的条件。

0b4．设f(x)在[a,b]恒正，f?(x)?0，f??(x)?0，将下列积分值按大小顺序排列： I1???[f(a)?abbbf(b)?f(a)(x?a)]dx，I2??f(x)dx，I3??f(a)dx。

aab?a5．计算

?201?sin2xdx。

6．计算

?x|x?a|dx 。

017．设f(x)??x02e?y2?2ydy，求?(x?1)2f(x)dx。

018．设f(x)?x?x?20f(x)dx?2?f(x)dx，求f(x)。

019．设f(x)及其反函数g(x)都可微且有关系式 10．求多项式 f (x) 使它满足方程11．

2012届毕业论文设计

论文题目： 概述定积分的发展与应用 专 业： 数学与应用数学 学 院： 数学与统计学院 指导教师： 刘 坤 班 级： 08级本科（1）班 姓 名： 李 勇 学 号： 2008011115 联系电话： 15101901171

概述定积分的发展与应用

李 勇，刘坤

(陇东学院数学与统计学院， 甘肃 庆阳 745000)

摘 要: 概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词: 分割近似; 定积分; 流数法; 应用

微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正

如恩格斯评价的那样：\在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了.\它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极

２００９年９月第２３卷第３期

阴山学刊

ＹＩＮＳＨＡＮＡＣＡＤＥＭＩＣＪＯＵＲＮＡＬ

Ｓｅｐ．２００９Ｖ０１．２３

Ｎｏ．３

欧拉积分在求解定积分中的应用

田

兵

（包头师范学院学报编辑部，内蒙古包头０１４０３０）

摘要：本文叙述了欧拉积分的定义及相关性质，着重通过举例说明欧拉积分在实际计算中的应用。关键词：欧拉积分；定义；性质；应用

中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１００４—１８６９（２００９）０３－００２２—０３

求解定积分是学习高等数学的一个重要内容，也是解决数学问题的一个基本技能。求解定积分的

∞）内闭一致收敛。Ｆ（ｄ）在区间（０，＋∞）连续，求导在积分号下进行：

方法一般来说是先求出原函数，然后再根据牛顿一一莱布尼茨公式带人上下限进行计算。这种方法对

于一般的定积分求解问题比较实用。

ｒ“’（ａ）＝ｆ石”１ｅ１（１似）“ｄｘ

（２）递推公式Ｖｄ＞０，有

ｒ（ａ＋１）＝ａｒ（ａ）。

这个性质可有分布积分公式得到。

，＋∞

，＋蕾

在实际问题中，有许多定积分的原函数，难以计算或者计算过程非常繁杂。而如果将其进行适量的变量代换，变为我们熟悉的定积分，那么这一问题就

得到了很好的解决。欧拉积分恰恰就是我们解决这

ｒ（ａ＋１）＝Ｉ

Ｘａｅ－ｘ

帕

石。ｅ—ｄｘ＝Ｉ加

ｘ。ｄ（一